Реши задачу y=4-x^2 x-y+2=0 S-? Площадь криволинейной трапеции

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, зададим необходимые функции и определим точки их пересечения. Даны функции: 1. \( y = 4 - x^2 \) (парабола) 2. \( x - y + 2 = 0 \), или \( y = x + 2 \) (прямая) Сначала найдем точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем \( 4 - x^2 \) и \( x + 2 \): \[ 4 - x^2 = x + 2 \] Преобразуем уравнение: \[ -x^2 - x + 2 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + x - 2 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Находим корни: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -2 \] Теперь найдём \( y \) для этих значений \( x \): Для \( x = 1 \): \[ y = 4 - (1^2) = 4 - 1 = 3 \] Для \( x = -2 \): \[ y = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0 \] Теперь у нас есть точки пересечения: \( (1, 3) \) и \( (-2, 0) \). Теперь найдем площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиками, используя интеграл: \[ S = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) \, dx \] Упростим подынтегральное выражение: \[ (4 - x^2) - (x + 2) = 2 - x - x^2 \] Теперь проинтегрируем выражение: \[ S = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx \] Посчитаем интеграл: \[ S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} \] Сначала найдем значение при верхнем пределе: \[ = 2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 2 - 0.5 - 0.3333 \approx 1.16667 \] Теперь при нижнем пределе: \[ = 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + \frac{8}{3} = -\frac{18}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3} \] Теперь вычислим: \[ S = \left(1.16667 - \left(-\frac{10}{3}\right)\right) = \frac{35}{6} \approx 5.8333 \] Таким образом, площадь криволинейной трапеции \( S \) равна \( \frac{35}{6} \) или примерно \( 5.83 \) квадратных единиц.