Реши задачу y=4-x^2 x-y+2=0 S-? Площадь криволинейной трапеции
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, зададим необходимые функции и определим точки их пересечения.
Даны функции:
- \( y = 4 - x^2 \) (парабола)
- \( x - y + 2 = 0 \), или \( y = x + 2 \) (прямая)
Сначала найдем точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем \( 4 - x^2 \) и \( x + 2 \):
\[ 4 - x^2 = x + 2 \]
Преобразуем уравнение:
\[ -x^2 - x + 2 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + x - 2 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
Находим корни:
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -2 \]
Теперь найдём \( y \) для этих значений \( x \):
Для \( x = 1 \): \[ y = 4 - (1^2) = 4 - 1 = 3 \]
Для \( x = -2 \): \[ y = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0 \]
Теперь у нас есть точки пересечения: \( (1, 3) \) и \( (-2, 0) \).
Теперь найдем площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиками, используя интеграл:
\[ S = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) \, dx \]
Упростим подынтегральное выражение:
\[ (4 - x^2) - (x + 2) = 2 - x - x^2 \]
Теперь проинтегрируем выражение:
\[ S = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx \]
Посчитаем интеграл:
\[ S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} \]
Сначала найдем значение при верхнем пределе:
\[ = 2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 2 - 0.5 - 0.3333 \approx 1.16667 \]
Теперь при нижнем пределе:
\[ = 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + \frac{8}{3} = -\frac{18}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3} \]
Теперь вычислим:
\[ S = \left(1.16667 - \left(-\frac{10}{3}\right)\right) = \frac{35}{6} \approx 5.8333 \]
Таким образом, площадь криволинейной трапеции \( S \) равна \( \frac{35}{6} \) или примерно \( 5.83 \) квадратных единиц.
