Дерево — это связный граф без циклов, и одна из его ключевых характеристик — это количество вершин и рёбер. Рассмотрим, что такое концевые (лиственный) вершины в дереве и как их максимальное и минимальное количество зависит от структуры дерева.
Определения:
- Концевые (лиственные) вершины — это вершины, которые имеют степень 1. То есть, каждая из этих вершин соединена только с одной другой вершиной.
Дерево с ( n ) вершинами имеет ( n - 1 ) рёбер (это основное свойство деревьев).
Найти минимальное и максимальное количество концевых вершин
Максимальное количество концевых вершин:
Чтобы максимизировать количество концевых вершин, нужно, чтобы как можно больше вершин имели степень 1. Это достигается в случае, когда дерево выглядит как "звезда": одна центральная вершина соединена с большим количеством других вершин.
- В центре находится 1 вершина (центральная).
- Остальные ( 64 ) вершины (всего ( 65 - 1 = 64 )) будут соединены с центральной вершиной.
Таким образом, максимальное количество концевых вершин:
[
\text{Максимум}(k) = 1 + 64 = 64
]
Минимальное количество концевых вершин:
Минимизировать количество концевых вершин можно, если дерево будет представлять собой линейную структуру (цепь).
- В этом случае вершин будет ( 65 ).
- Концевыми вершинами будут только два конца цепи, так как каждая внутренняя вершина соединена как минимум с двумя другими вершинами.
Таким образом, минимальное количество концевых вершин:
[
\text{Минимум}(k) = 2
]
Итог:
- Наибольшее количество концевых вершин: 64.
- Наименьшее количество концевых вершин: 2.
Таким образом, для дерева с 65 вершинами наименьшее и наибольшее количество концевых вершин составляет 2 и 64 соответственно.
