Давайте решим задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Определение случайной величины X
Случайная величина (X) обозначает число районов, которые не требуют уборки в течение часа. Таким образом, (X) может принимать значения 0, 1, 2 и 3, в зависимости от количества районов, в которых не было произведено уборки.
Шаг 2: Определение вероятностей для каждого района
Вероятности того, что каждый район не будет убран:
- Вероятность, что первый район не убран: (P(A_1) = 0.14)
- Вероятность, что второй район не убран: (P(A_2) = 0.15)
- Вероятность, что третий район не убран: (P(A_3) = 0.20)
Соответственно, вероятность того, что каждый район будет убран (то есть, не будет отсутствия уборки):
- Вероятность, что первый район убран: (P(A_1') = 1 - P(A_1) = 1 - 0.14 = 0.86)
- Вероятность, что второй район убран: (P(A_2') = 1 - P(A_2) = 1 - 0.15 = 0.85)
- Вероятность, что третий район убран: (P(A_3') = 1 - P(A_3) = 1 - 0.20 = 0.80)
Шаг 3: Рассчитаем вероятности для значений X
Закон распределения вероятностей для случайной величины X, где (X) - число районов, не требующих уборки, будет выглядеть следующим образом:
(P(X = 0)): Вероятность того, что все районы убраны.
[
P(X = 0) = P(A_1') \cdot P(A_2') \cdot P(A_3') = 0.86 \cdot 0.85 \cdot 0.80 = 0.5856
]
(P(X = 1)): Вероятность того, что 1 район не убран:
Мы можем выбрать 1 район, который не будет убран, и остальные 2 района будут убраны. Это событие может происходить в 3 различных случаях (первый, второй или третий район не убран):
[
P(X = 1) = P(A_1) \cdot P(A_2') \cdot P(A_3') + P(A_1') \cdot P(A_2) \cdot P(A_3') + P(A_1') \cdot P(A_2') \cdot P(A_3)
]
Подсчитаем:
[
P(X = 1) = (0.14 \cdot 0.85 \cdot 0.80) + (0.86 \cdot 0.15 \cdot 0.80) + (0.86 \cdot 0.85 \cdot 0.20)
]
[
= 0.0952 + 0.1024 + 0.1460 = 0.3436
]
(P(X = 2)): Вероятность того, что 2 района не убраны:
Здесь мы можем выбрать 2 района, которые не будут убраны. Это событие может происходить в 3 различных случаях:
[
P(X = 2) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3') + P(A_1) \cdot P(A_2') \cdot P(A_3) + P(A_1') \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)
]
Подсчитаем:
[
P(X = 2) = (0.14 \cdot 0.15 \cdot 0.80) + (0.14 \cdot 0.85 \cdot 0.20) + (0.86 \cdot 0.15 \cdot 0.20)
]
[
= 0.0168 + 0.0238 + 0.0258 = 0.0664
]
(P(X = 3)): Вероятность того, что все три района не убраны.
[
P(X = 3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0.14 \cdot 0.15 \cdot 0.20 = 0.0042
]
Шаг 4: Составление закона распределения
Теперь мы можем собрать все полученные вероятности для случайной величины (X):
[
\begin{align*}
P(X = 0) & = 0.586 \
P(X = 1) & = 0.344 \
P(X = 2) & = 0.066 \
P(X = 3) & = 0.004 \
\end{align*}
]
Обозначив, что вероятности округлены до тысячных, закон распределения случайной величины (X) будет выглядеть следующим образом:
- (P(X = 0) = 0.586)
- (P(X = 1) = 0.344)
- (P(X = 2) = 0.066)
- (P(X = 3) = 0.004)
Если есть дополнительные вопросы или необходимо уточнение по какому-то из шагов, пожалуйста, дайте знать!
