5. Монету подбрасывают 8 раз. Известно, что орёл выпал всего 5 раз. Найдите вероятность того, что в четырёх первых бросаниях орёл случился 3 раза. Поясните ответ решением

Для решения задачи о вероятности выпадения орла при подбрасывании монеты мы воспользуемся правилами комбинаторики и теорией вероятностей.

Шаг 1: Определим понятия
Подбрасывание монеты — это случайный эксперимент с двумя возможными исходами: «орёл» (О) и «решка» (Р). Поскольку подбрасывание является независимым событием, вероятность выпадения орла в одном подбрасывании равна 0.5, и то же самое для решки.

Шаг 2: Задача
У нас 8 подбрасываний, и из них орёл выпал 5 раз. Мы хотим найти вероятность того, что из первых 4 подбрасываний орёл выпал 3 раза.

Шаг 3: Используем биномиальное распределение
Вероятность того, что в n независимых испытаниях (подбрасываниях) произойдет k успехов (в нашем случае — выпадение орла), можно выразить через биномиальное распределение:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент (число способов выбрать k успехов из n),
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае 0.5 для орла),
• \( n \) — общее количество подбрасываний,
• \( k \) — количество успехов (выпадений орла).

Для нашей задачи:

• \( n = 4 \) (первые 4 броска),
• \( k = 3 \) (3 орла).

Шаг 4: Находим биномиальный коэффициент
Сначала посчитаем биномиальный коэффициент \( C(4, 3) \):

\[ C(4, 3) = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1!} = \frac{4}{1} = 4 \]

Шаг 5: Подставляем в формулу
Теперь подставляем все значения в формулу:

\[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{4-3} = 4 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^1 = 4 \cdot (0.5)^4 = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]

Шаг 6: Ответ
Таким образом, вероятность того, что в первых четырёх бросках орёл выпал 3 раза, составляет \( \frac{1}{4} \).

Заключение
Мы использовали биномиальное распределение для нахождения вероятности определённого количества успехов (выпадения орла) в заданном количестве испытаний (бросков). Это позволяет точно вычислить вероятность интересующего нас события.