вычислите интегралы. 1) ∫ вверху п/4, внизу п/12 cos 2 х dx 2) ∫ вверху 4, внизу 3. x в третьей степени-2 х во второй степени, х-2 dx
Давайте решим предложенные интегралы по порядку.
Задача 1:
Вычислить интеграл \( I_1 = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx \).
Шаг 1: Вычислим неопределённый интеграл
Для начала найдем неопределённый интеграл \( \int \cos(2x) \, dx \). Используем подстановку:
\[ u = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2 \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{2} \]
Теперь заменяем \( dx \) в интеграле:
\[ \int \cos(2x) \, dx = \int \cos(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du \]
Интеграл \( \int \cos(u) \, du = \sin(u) + C \), значит:
\[ \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) + C \]
Шаг 2: Найдем определённый интеграл
Теперь подставим пределы интегрирования:
\[ I_1 = \left[ \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \]
Сначала подставим верхний предел \( x = \frac{\pi}{4} \):
\[ \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \]
Подставляем значение:
\[ \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \]
Теперь подставим нижний предел \( x = \frac{\pi}{12} \):
\[ \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \]
Подставляем значение:
\[ \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
Теперь можем найти значение интеграла:
\[ I_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \]
Таким образом, результат для первого интеграла:
\[ \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{4} \]
Задача 2:
Вычислить интеграл \( I_2 = \int_{3}^{4} (x^3 - 2x^2 + x - 2) \, dx \).
Шаг 1: Вычислим неопределённый интеграл
Сначала найдем неопределённый интеграл:
\[ \int (x^3 - 2x^2 + x - 2) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x + C \]
Шаг 2: Найдем определённый интеграл
Теперь подставим пределы интегрирования:
\[ I_2 = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{3}^{4} \]
Сначала подставим верхний предел \( x = 4 \):
\[ \frac{4^4}{4} - \frac{2 \cdot 4^3}{3} + \frac{4^2}{2} - 2 \cdot 4 \]
Выражаем каждую часть:
\[ = \frac{256}{4} - \frac{2 \cdot 64}{3} + \frac{16}{2} - 8 = 64 - \frac{128}{3} + 8 - 8 \] \[ = 64 - \frac{128}{3} = \frac{192}{3} - \frac{128}{3} = \frac{64}{3} \]
Теперь подставим нижний предел \( x = 3 \):
\[ \frac{3^4}{4} - \frac{2 \cdot 3^3}{3} + \frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3 \] \[ = \frac{81}{4} - \frac{2 \cdot 27}{3} + \frac{9}{2} - 6 = \frac{81}{4} - 18 + \frac{18}{4} - 6 \] \[ = \frac{81}{4} + \frac{18}{4} - \frac{24}{4} - \frac{24}{4} = \frac{81 + 18 - 24 - 24}{4} = \frac{51}{4} \]
Теперь можем найти значение определённого интеграла:
\[ I_2 = \left( \frac{64}{3} - \frac{51}{4} \right) \]
Чтобы вычесть дроби, приведем к общему знаменателю (12):
\[ \frac{64}{3} = \frac{256}{12}, \quad \frac{51}{4} = \frac{153}{12} \]
Теперь:
\[ I_2 = \frac{256}{12} - \frac{153}{12} = \frac{103}{12} \]
Таким образом, результат для второго интеграла:
\[ \int_{3}^{4} (x^3 - 2x^2 + x - 2) \, dx = \frac{103}{12} \]
Ответы
\( \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{4} \)
\( \int_{3}^{4} (x^3 - 2x^2 + x - 2) \, dx = \frac{103}{12} \)
