Вычислите интегралы. 1) ∫ вверху п/4, внизу п/12 cos 2 х dx 2) ∫ вверху 4, внизу 3. x в третьей степени-2 х во второй степени, х-2 dx

Давайте решим предложенные интегралы по порядку. ### Задача 1: Вычислить интеграл \( I_1 = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx \). #### Шаг 1: Вычислим неопределённый интеграл Для начала найдем неопределённый интеграл \( \int \cos(2x) \, dx \). Используем подстановку: \[ u = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2 \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{2} \] Теперь заменяем \( dx \) в интеграле: \[ \int \cos(2x) \, dx = \int \cos(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du \] Интеграл \( \int \cos(u) \, du = \sin(u) + C \), значит: \[ \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) + C \] #### Шаг 2: Найдем определённый интеграл Теперь подставим пределы интегрирования: \[ I_1 = \left[ \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \] Сначала подставим верхний предел \( x = \frac{\pi}{4} \): \[ \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \] Подставляем значение: \[ \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \] Теперь подставим нижний предел \( x = \frac{\pi}{12} \): \[ \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \] Подставляем значение: \[ \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] Теперь можем найти значение интеграла: \[ I_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \] Таким образом, результат для первого интеграла: \[ \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{4} \] --- ### Задача 2: Вычислить интеграл \( I_2 = \int_{3}^{4} (x^3 - 2x^2 + x - 2) \, dx \). #### Шаг 1: Вычислим неопределённый интеграл Сначала найдем неопределённый интеграл: \[ \int (x^3 - 2x^2 + x - 2) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x + C \] #### Шаг 2: Найдем определённый интеграл Теперь подставим пределы интегрирования: \[ I_2 = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{3}^{4} \] Сначала подставим верхний предел \( x = 4 \): \[ \frac{4^4}{4} - \frac{2 \cdot 4^3}{3} + \frac{4^2}{2} - 2 \cdot 4 \] Выражаем каждую часть: \[ = \frac{256}{4} - \frac{2 \cdot 64}{3} + \frac{16}{2} - 8 = 64 - \frac{128}{3} + 8 - 8 \] \[ = 64 - \frac{128}{3} = \frac{192}{3} - \frac{128}{3} = \frac{64}{3} \] Теперь подставим нижний предел \( x = 3 \): \[ \frac{3^4}{4} - \frac{2 \cdot 3^3}{3} + \frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3 \] \[ = \frac{81}{4} - \frac{2 \cdot 27}{3} + \frac{9}{2} - 6 = \frac{81}{4} - 18 + \frac{18}{4} - 6 \] \[ = \frac{81}{4} + \frac{18}{4} - \frac{24}{4} - \frac{24}{4} = \frac{81 + 18 - 24 - 24}{4} = \frac{51}{4} \] Теперь можем найти значение определённого интеграла: \[ I_2 = \left( \frac{64}{3} - \frac{51}{4} \right) \] Чтобы вычесть дроби, приведем к общему знаменателю (12): \[ \frac{64}{3} = \frac{256}{12}, \quad \frac{51}{4} = \frac{153}{12} \] Теперь: \[ I_2 = \frac{256}{12} - \frac{153}{12} = \frac{103}{12} \] Таким образом, результат для второго интеграла: \[ \int_{3}^{4} (x^3 - 2x^2 + x - 2) \, dx = \frac{103}{12} \] ### Ответы 1) \( \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{4} \) 2) \( \int_{3}^{4} (x^3 - 2x^2 + x - 2) \, dx = \frac{103}{12} \)