Для решения данной задачи воспользуемся неравенством Маркова, которое помогает оценить величину распределения случайной величины с помощью её математического ожидания.
Шаг 1: Определение переменных
Обозначим:
- ( S ) — сумма всех вкладов в банке, которая равна 20 млн руб. или 20,000,000 руб.
- ( X ) — сумма вклада для случайно выбранного вкладчика.
- ( P(X \leq 200000) = 0.8 ) — вероятность того, что вклад не превысит 200 тыс. руб.
Шаг 2: Применение неравенства Маркова
Неравенство Маркова гласит, что для неотрицательной случайной величины ( X ) и для любого ( a > 0 ):
[
P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}
]
Где ( E[X] ) — математическое ожидание ( X ).
Шаг 3: Вычисление математического ожидания
В нашем случае, сумма всех вкладов ( S ) делится на количество вкладчиков ( n ):
[
E[X] = \frac{S}{n} = \frac{20000000}{n}
]
Шаг 4: Определим значение ( a )
В нашем примере значение ( a ) равно 200000 руб. Теперь подставим ( a ) в неравенство Маркова:
[
P(X \geq 200000) \leq \frac{E[X]}{200000}
]
Также знаем, что:
[
P(X \geq 200000) = 1 - P(X \leq 200000) = 1 - 0.8 = 0.2
]
Шаг 5: Подставление в неравенство
Теперь подставим всё в неравенство:
[
0.2 \leq \frac{\frac{20000000}{n}}{200000}
]
Шаг 6: Упрощение неравенства
Теперь упростим неравенство:
[
0.2 \leq \frac{20000000}{200000n}
]
Упрощаем правую часть:
[
0.2 \leq \frac{100}{n}
]
Шаг 7: Решение для ( n )
Теперь решим неравенство для ( n ):
[
n \leq \frac{100}{0.2} = 500
]
Вывод
Наибольшее число вкладчиков, которое можно оценить по данному условию, равно 500.
Таким образом, по неравенству Маркова, максимальное количество вкладчиков не должно превышать 500.
