Сумма всех вкладов в отделение банка составляет 20 млн руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 200 тыс. руб., равна 0,8. Укажите наибольшее число…

Для решения данной задачи воспользуемся неравенством Маркова, которое помогает оценить величину распределения случайной величины с помощью её математического ожидания.

Шаг 1: Определение переменных

Обозначим:

• \( S \) — сумма всех вкладов в банке, которая равна 20 млн руб. или 20,000,000 руб.
• \( X \) — сумма вклада для случайно выбранного вкладчика.
• \( P(X \leq 200000) = 0.8 \) — вероятность того, что вклад не превысит 200 тыс. руб.

Шаг 2: Применение неравенства Маркова

Неравенство Маркова гласит, что для неотрицательной случайной величины \( X \) и для любого \( a > 0 \):

\[ P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a} \]

Где \( E[X] \) — математическое ожидание \( X \).

Шаг 3: Вычисление математического ожидания

В нашем случае, сумма всех вкладов \( S \) делится на количество вкладчиков \( n \):

\[ E[X] = \frac{S}{n} = \frac{20000000}{n} \]

Шаг 4: Определим значение \( a \)

В нашем примере значение \( a \) равно 200000 руб. Теперь подставим \( a \) в неравенство Маркова:

\[ P(X \geq 200000) \leq \frac{E[X]}{200000} \]

Также знаем, что:

\[ P(X \geq 200000) = 1 - P(X \leq 200000) = 1 - 0.8 = 0.2 \]

Шаг 5: Подставление в неравенство

Теперь подставим всё в неравенство:

\[ 0.2 \leq \frac{\frac{20000000}{n}}{200000} \]

Шаг 6: Упрощение неравенства

Теперь упростим неравенство:

\[ 0.2 \leq \frac{20000000}{200000n} \]

Упрощаем правую часть:

\[ 0.2 \leq \frac{100}{n} \]

Шаг 7: Решение для \( n \)

Теперь решим неравенство для \( n \):

\[ n \leq \frac{100}{0.2} = 500 \]

Вывод

Наибольшее число вкладчиков, которое можно оценить по данному условию, равно 500.

Таким образом, по неравенству Маркова, максимальное количество вкладчиков не должно превышать 500.