В треугольнике ABC угол С прямой. ВС = 27, АВ = 75. Найдите косинус острого угла В

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом при вершине \( C \) можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны \( AC \). Согласно теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения \( AB = 75 \) и \( BC = 27 \): \[ 75^2 = AC^2 + 27^2 \] Вычислим \( 75^2 \) и \( 27^2 \): \[ 5625 = AC^2 + 729 \] Теперь выразим \( AC^2 \): \[ AC^2 = 5625 - 729 \] \[ AC^2 = 4896 \] Теперь найдем \( AC \): \[ AC = \sqrt{4896} \] Чтобы найти \( \cos B \), применим определение косинуса в прямоугольном треугольнике: \[ \cos B = \frac{AC}{AB} \] Теперь подставим \( AC \): \[ \cos B = \frac{\sqrt{4896}}{75} \] Теперь нужно упростить \( \sqrt{4896} \). Для этого разложим 4896 на простые множители: \[ 4896 = 16 \times 306 = 16 \times 18 \times 17 = 16 \times 9 \times 2 \times 17 \] Поэтому: \[ \sqrt{4896} = 4 \times 3 \times \sqrt{34} = 12\sqrt{34} \] Теперь подставим это обратно в формулу для косинуса: \[ \cos B = \frac{12\sqrt{34}}{75} \] Теперь упростим это выражение: \[ \cos B = \frac{4\sqrt{34}}{25} \] Таким образом, косинус острого угла \( B \) равен \( \frac{4\sqrt{34}}{25} \).