В треугольнике ABC угол С прямой. ВС = 27, АВ = 75. Найдите косинус острого угла В

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом при вершине \( C \) можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны \( AC \).

Согласно теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения \( AB = 75 \) и \( BC = 27 \):

\[ 75^2 = AC^2 + 27^2 \]

Вычислим \( 75^2 \) и \( 27^2 \):

\[ 5625 = AC^2 + 729 \]

Теперь выразим \( AC^2 \):

\[ AC^2 = 5625 - 729 \]

\[ AC^2 = 4896 \]

Теперь найдем \( AC \):

\[ AC = \sqrt{4896} \]

Чтобы найти \( \cos B \), применим определение косинуса в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos B = \frac{AC}{AB} \]

Теперь подставим \( AC \):

\[ \cos B = \frac{\sqrt{4896}}{75} \]

Теперь нужно упростить \( \sqrt{4896} \). Для этого разложим 4896 на простые множители:

\[ 4896 = 16 \times 306 = 16 \times 18 \times 17 = 16 \times 9 \times 2 \times 17 \]

Поэтому:

\[ \sqrt{4896} = 4 \times 3 \times \sqrt{34} = 12\sqrt{34} \]

Теперь подставим это обратно в формулу для косинуса:

\[ \cos B = \frac{12\sqrt{34}}{75} \]

Теперь упростим это выражение:

\[ \cos B = \frac{4\sqrt{34}}{25} \]

Таким образом, косинус острого угла \( B \) равен \( \frac{4\sqrt{34}}{25} \).