В треугольнике A B C ABC угол C C прямой, A C = 3 , AC=3, B C = 4. BC=4. Найдите длину вектора C A → − B A → . CA
Для решения данной задачи начнем с анализа исходных данных. Мы имеем треугольник ABC, у которого угол C является прямым. Давайте запишем данные задачи:
- AC = 3 (это одна из катетов)
- BC = 4 (вторая катет)
- угол C = 90° (прямой угол)
Нам нужно найти длину вектора \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} \).
Шаг 1: Определим координаты точек A, B и C
Пусть точка \( C \) находится в начале координат, т.е. \( C(0, 0) \).
Так как AC = 3 и это один из катетов, мы можем расположить точку A горизонтально от точки C. Таким образом, A будет находиться в \( A(3, 0) \).
Теперь, так как BC = 4 и это второй катет, точка B будет находиться вертикально от точки C. Таким образом, B будет находиться в \( B(0, 4) \).
Теперь у нас есть все точки:
- \( C(0, 0) \)
- \( A(3, 0) \)
- \( B(0, 4) \)
Шаг 2: Найдем векторы \( \overrightarrow{CA} \) и \( \overrightarrow{BA} \)
Теперь мы можем найти вектор \( \overrightarrow{CA} \) и вектор \( \overrightarrow{BA} \):
Вектор \( \overrightarrow{CA} \): \[ \overrightarrow{CA} = A - C = (3, 0) - (0, 0) = (3, 0) \]
Вектор \( \overrightarrow{BA} \): \[ \overrightarrow{BA} = A - B = (3, 0) - (0, 4) = (3, 0) - (0, 4) = (3, -4) \]
Шаг 3: Найдем разность векторов \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} \)
Теперь найдем разность векторов:
\[ \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} = (3, 0) - (3, -4) \]
Выполним вычитание по компонентам: \[ = (3 - 3, 0 - (-4)) = (0, 0 + 4) = (0, 4) \]
Шаг 4: Найдем длину вектора \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} \)
Длина вектора \( (x, y) \) вычисляется по формуле: \[ \text{длина} = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Подставляем наши значения: \[ \text{длина} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4 \]
Ответ
Таким образом, длина вектора \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} \) равна 4.
