Для решения данной задачи начнем с анализа исходных данных. Мы имеем треугольник ABC, у которого угол C является прямым. Давайте запишем данные задачи:
- AC = 3 (это одна из катетов)
- BC = 4 (вторая катет)
- угол C = 90° (прямой угол)
Нам нужно найти длину вектора ( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} ).
Шаг 1: Определим координаты точек A, B и C
Пусть точка ( C ) находится в начале координат, т.е. ( C(0, 0) ).
Так как AC = 3 и это один из катетов, мы можем расположить точку A горизонтально от точки C.
Таким образом, A будет находиться в ( A(3, 0) ).
Теперь, так как BC = 4 и это второй катет, точка B будет находиться вертикально от точки C.
Таким образом, B будет находиться в ( B(0, 4) ).
Теперь у нас есть все точки:
- ( C(0, 0) )
- ( A(3, 0) )
- ( B(0, 4) )
Шаг 2: Найдем векторы ( \overrightarrow{CA} ) и ( \overrightarrow{BA} )
Теперь мы можем найти вектор ( \overrightarrow{CA} ) и вектор ( \overrightarrow{BA} ):
Вектор ( \overrightarrow{CA} ):
[
\overrightarrow{CA} = A - C = (3, 0) - (0, 0) = (3, 0)
]
Вектор ( \overrightarrow{BA} ):
[
\overrightarrow{BA} = A - B = (3, 0) - (0, 4) = (3, 0) - (0, 4) = (3, -4)
]
Шаг 3: Найдем разность векторов ( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} )
Теперь найдем разность векторов:
[
\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} = (3, 0) - (3, -4)
]
Выполним вычитание по компонентам:
[
= (3 - 3, 0 - (-4)) = (0, 0 + 4) = (0, 4)
]
Шаг 4: Найдем длину вектора ( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} )
Длина вектора ( (x, y) ) вычисляется по формуле:
[
\text{длина} = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Подставляем наши значения:
[
\text{длина} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4
]
Ответ
Таким образом, длина вектора ( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} ) равна 4.
