В данной задаче мы рассматриваем прямоугольный треугольник (ABC) с прямым углом в вершине (C). Даны длины сторон: (AC = 3) и (BC = 4). Необходимо найти длину вектора ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} ).
1. Находим длину стороны (AB)
Сначала, давайте используем теорему Pифагора, чтобы найти длину стороны (AB). В прямоугольном треугольнике теорема Pифагора гласит, что:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставляем известные значения:
[
AB^2 = 3^2 + 4^2
]
[
AB^2 = 9 + 16
]
[
AB^2 = 25
]
Теперь находим (AB):
[
AB = \sqrt{25} = 5
]
2. Находим длину вектора ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} )
Теперь рассчитаем сумму векторов ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} ). Учтем, что вектор ( \overrightarrow{CA} ) по направлению идет от точки (C) к точке (A). Длину вектора (CA) мы уже знаем, она равна 3.
Векторы можно представлять как:
[
\overrightarrow{AB} = 5 \quad \text{(длина)}
]
[
\overrightarrow{CA} = 3 \quad \text{(длина)}
]
Сумма векторов равна:
[
|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}| = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{CA}| = 5 + 3 = 8
]
Итог
Таким образом, длина вектора ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} ) равна 8.
Ответ:
Длина вектора ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} ) равна 8.
