В треугольнике A B C ABC угол C C прямой, A C = 3 , AC=3, B C = 4. BC=4. Найдите длину вектора A B → + C A → . AB

В данной задаче мы рассматриваем прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом в вершине \(C\). Даны длины сторон: \(AC = 3\) и \(BC = 4\). Необходимо найти длину вектора \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} \).

1. Находим длину стороны \(AB\)

Сначала, давайте используем теорему Pифагора, чтобы найти длину стороны \(AB\). В прямоугольном треугольнике теорема Pифагора гласит, что:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ AB^2 = 3^2 + 4^2 \]

\[ AB^2 = 9 + 16 \]

\[ AB^2 = 25 \]

Теперь находим \(AB\):

\[ AB = \sqrt{25} = 5 \]

2. Находим длину вектора \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} \)

Теперь рассчитаем сумму векторов \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} \). Учтем, что вектор \( \overrightarrow{CA} \) по направлению идет от точки \(C\) к точке \(A\). Длину вектора \(CA\) мы уже знаем, она равна 3.

Векторы можно представлять как:

\[ \overrightarrow{AB} = 5 \quad \text{(длина)} \] \[ \overrightarrow{CA} = 3 \quad \text{(длина)} \]

Сумма векторов равна:

\[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}| = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{CA}| = 5 + 3 = 8 \]

Итог

Таким образом, длина вектора \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} \) равна 8.

Ответ:

Длина вектора \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} \) равна 8.