Юра вышел из спортзала после тренировки и отправился в сторону магазина. Одновременно с Юрой из магазина в спортзал вышла его подруга Оля. В момент встречи Юре оставалось идти ещё 4 4 минуты, а Оле — ещё 16 16 минут. Найдите, через сколько минут после выхода встретились Юра и Оля, если всё время они шли с постоянной скоростью.

Давайте разберем задачу шаг за шагом. ### Исходные данные: - Юра вышел из спортзала и шёл в сторону магазина. - Оля вышла из магазина и шла в сторону спортзала. - Когда они встретились, Юре оставалось идти ещё 4 минуты, а Оле — 16 минут. ### Обозначим время встречи: Пусть \( t \) — это количество минут, прошло с момента выхода Юры и Оли до их встречи. ### Дистанции: - Пусть расстояние от точки встречи до спортзала составляет \( d_Y \) (расстояние, которое Юра должен пройти после встречи). - Пусть расстояние от точки встречи до магазина составляет \( d_O \) (расстояние, которое Оля должна пройти после встречи). ### Замечания: - Если Юре осталось идти 4 минуты, то он успевает пройти это расстояние за это время. Его скорость, обозначим её \( v_Y \), будет использоваться для нахождения расстояния: \[ d_Y = v_Y \cdot 4 \] - У Оли осталось идти 16 минут, соответственно: \[ d_O = v_O \cdot 16 \] ### Поскольку Юра и Оля движутся к точке встречи: Исходя из того, что расстояние до встречи будет одинаковым для обоих, можно написать уравнение: \[ v_Y \cdot (t + 4) = v_O \cdot (t + 16) \] ### Обозначим скорости: Теперь можно выразить скорости через расстояния. Обозначим отношение их скоростей через постоянный множитель: \[ \frac{v_Y}{v_O} = \frac{d_O}{d_Y} = \frac{16}{4} = 4 \] Таким образом, скорость Юры в 4 раза меньше скорости Оли: \[ v_Y = \frac{1}{4} v_O \] ### Подставим в уравнение: Подставим \( v_Y \) в уравнение на расстояние: \[ \frac{1}{4}v_O \cdot (t + 4) = v_O \cdot (t + 16) \] ### Упростим уравнение: Можно сократить обе части на \( v_O \) (при \( v_O \neq 0 \)): \[ \frac{1}{4} (t + 4) = t + 16 \] Умножим обе стороны на 4 для избавления от дроби: \[ t + 4 = 4(t + 16) \] Раскрываем скобки: \[ t + 4 = 4t + 64 \] ### Переносим все \( t \) в одну сторону: \[ 4 = 4t - t + 64 \] \[ 4 = 3t + 64 \] Вычтем 64 из обеих сторон: \[ -60 = 3t \] Разделим обе стороны на 3: \[ t = -20 \] ### Ошибка в знаке: Кажется, была ошибка при манипуляциях. Если пересчитывать: По факту исходя из уравнения: $$\frac{(t + 4)}{(t + 16)} = 4$$ нужно будет пересчитать до конца. Мы видим, что у нас встреча произошла когда Юра прошел расстояние за $4$ мин. То есть из 4 мин идет 4/5 путь, следовательно у Оли будет вполне соотв. тоже быть. Теперь просто приравниваем прошедшие 4-(16-t) Где t у нас как раз и обозначает искомое. ### Ответ: Юра и Оля встретились через *4 минуты* после выхода из спортзала и магазина соответственно при равнозначной скорости.