е
Для решения задач из этого варианта будем выполнять каждый пункт по очереди. Начнем с первой задачи.
Задача 1:
Дана геометрическая прогрессия, первый член которой равен -3,2, а знаменатель равен 0,5. Найдите ее шестой член.
Решение:
В геометрической прогрессии каждый член прогрессии получается умножением предыдущего на постоянное число \( q \), называемое знаменателем прогрессии.
Формула для \( n \)-го члена выглядит так: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]
Где:
- \( a_n \) — \( n \)-й член,
- \( a_1 = -3,2 \) — первый член прогрессии,
- \( q = 0,5 \) — знаменатель,
- \( n = 6 \).
Подставим известные значения: \[ a_6 = -3,2 \cdot 0,5^{6-1} \] \[ a_6 = -3,2 \cdot 0,5^5 \]
Теперь вычислим \( 0,5^5 \): \[ 0,5^5 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,03125 \]
Теперь вычисляем \( a_6 \): \[ a_6 = -3,2 \cdot 0,03125 = -0,1 \]
Таким образом, шестой член прогрессии \( a_6 = -0,1 \).
Задача 2:
Арифметическая прогрессия (ап): заданы формулой \( a_n = \frac{1}{3}n \). Найдите сумму ее первых двадцати членов.
Решение:
Для арифметической прогрессии сумма первых \( n \) членов вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]
Где:
- \( n = 20 \),
- \( a_1 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \),
- \( a_{20} = \frac{1}{3} \cdot 20 = \frac{20}{3} \).
Подставим значения в формулу для суммы: \[ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{20}{3}\right) \] \[ S_{20} = 10 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{20}{3}\right) \] \[ S_{20} = 10 \cdot \frac{21}{3} \] \[ S_{20} = 10 \cdot 7 \] \[ S_{20} = 70 \]
Итак, сумма первых двадцати членов прогрессии равна 70.
Задача 3:
Геометрическая прогрессия задана условием \( s_1 = 2, \, s_2 = 6 \). Найдите четвертый член.
Решение:
Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \]
Известно, что:
- \( S_1 = a_1 = 2 \),
- \( S_2 = a_1 + a_1 \cdot q = 6 \).
Отсюда:
- \( a_1 = 2 \)
- \( 2 + 2q = 6 \)
- \( 2q = 4 \)
- \( q = 2 \)
Теперь найдем четвертый член \( a_4 \): \[ a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = 2 \cdot 2^3 = 2 \cdot 8 = 16 \]
Таким образом, четвертый член равен 16.
Задача 4:
Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: 14, 10, 6, \ldots. Найдите сумму всех членов, если конец последовательности составляет число 82.
Решение:
Данные:
- Первый член \( a_1 = 14 \),
- Разность \( d = 10 - 14 = -4 \),
- Последний член \( a_n = 82 \).
Найдем номер последнего члена: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]
Подставим известные значения: \[ 82 = 14 + (n-1) \cdot (-4) \] \[ 82 = 14 - 4(n-1) \] \[ 82 - 14 = -4(n-1) \] \[ 68 = -4(n-1) \] \[ n - 1 = \frac{-68}{-4} \] \[ n - 1 = 17 \] \[ n = 18 \]
Теперь найдем сумму всех членов: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] \[ S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (14 + 82) \] \[ S_{18} = 9 \cdot 96 \] \[ S_{18} = 864 \]
Таким образом, сумма всех членов равна 864.
Задача 5:
Является ли число 13 членом арифметической прогрессии, первый член которой равен 20, второй член равен 207. Если да, то определите номер этого члена.
Решение:
Данные:
- Первый член \( a_1 = 20 \),
- Второй член \( a_2 = 207 \).
Найдем разность: \[ d = a_2 - a_1 = 207 - 20 = 187 \]
Если число 13 является членом прогрессии, то: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = 13 \] \[ 20 + (n-1) \cdot 187 = 13 \] \[ (n-1) \cdot 187 = 13 - 20 \] \[ (n-1) \cdot 187 = -7 \]
Теперь найдем \( n-1 \): \[ n-1 = \frac{-7}{187} \]
Поскольку дробь \( \frac{-7}{187} \) не является целым числом, числа 13 в прогрессии нет.
Таким образом, все задачи решены с детальными решениями и объяснениями.
