Давайте разберем задачи из контрольной работы на тему "Квадратные уравнения" по порядку.
Задача 1: Решите уравнение (4x^2 + 12x = 0)
Шаг 1: Вынесем общий множитель
Во-первых, мы можем вынести общий множитель из левой части уравнения. В данном случае, общий множитель — это (4x):
[
4x(x + 3) = 0
]
Шаг 2: Применим правило нуля
Теперь, чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Мы имеем два случая:
- (4x = 0)
- (x + 3 = 0)
Шаг 3: Найдем корни
Для первого случая:
[
x = 0
]
Для второго случая:
[
x + 3 = 0 \implies x = -3
]
Ответ: (x = 0) и (x = -3)
Задача 2: Решите уравнение (4x^2 - 25 = 0)
Шаг 1: Применим формулу разности квадратов
Уравнение можно представить как разность квадратов:
[
(2x)^2 - 5^2 = 0
]
По формуле разности квадратов, (a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)), мы можем записать:
[
(2x - 5)(2x + 5) = 0
]
Шаг 2: Найдем корни
Теперь решим каждое из уравнений:
- (2x - 5 = 0) (\implies x = \frac{5}{2})
- (2x + 5 = 0) (\implies x = -\frac{5}{2})
Ответ: (x = \frac{5}{2}) и (x = -\frac{5}{2})
Задача 3: Решите уравнение (x^2 - 9x + 8 = 0)
Шаг 1: Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения
Для уравнения (ax^2 + bx + c = 0) корни находятся по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Подставим (a = 1), (b = -9), (c = 8):
Шаг 2: Найдем дискриминант
Сначала найдем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49
]
Шаг 3: Подставим в формулу корней
Теперь подставляем дискриминант в формулу корней:
[
x = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 7}{2}
]
Мы находим два корня:
- (x_1 = \frac{16}{2} = 8)
- (x_2 = \frac{2}{2} = 1)
Ответ: (x = 8) и (x = 1)
Задача 4: Решите уравнение (2x^2 + 4x + 3 = 0)
Шаг 1: Найдем дискриминант
Сначала найдем дискриминант для данного уравнения:
[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8
]
Шаг 2: Определим корни
Поскольку дискриминант отрицательный ((D < 0)), это уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.
Задача 5: Найдите два натуральных числа, произведение которых равно 187, а одно из которых на 6 больше другого.
Обозначим меньшее число как (x). Тогда большее число будет (x + 6). Составим уравнение:
[
x(x + 6) = 187
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + 6x - 187 = 0
]
Теперь найдем дискриминант:
[
D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-187) = 36 + 748 = 784
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 28}{2}
]
Корни:
- (x_1 = \frac{22}{2} = 11)
- (x_2 = \frac{-34}{2} = -17) (не натуральное число)
Следовательно, (x = 11) и тогда большее число (x + 6 = 17).
Ответ: Числа 11 и 17.
Задача 6: Периметр прямоугольника равен 16 см, а площадь (S = C \cdot M^2). Найдите длины сторон прямоугольника.
Обозначим длину стороны (a) и ширину (b). Периметр прямоугольника:
[
2(a + b) = 16 \implies a + b = 8
]
Площадь прямоугольника:
[
S = a \cdot b
]
Используя первую формулу, выразим (b):
[
b = 8 - a
]
Подставляем это значение во вторую формулу:
[
S = a(8 - a) = 8a - a^2
]
Составляя уравнение для площади и периметра:
Пусть площадь равна (S):
[
S = 8a - a^2
]
Пусть нас интересует (S), например, если предположить, что заданные значения зависят от других исходных данных, то мы могли бы искать минимальные значения при различных (C) и (M).
Но, так как значения произвольны, прямоугольник может быть различным (например, 2 и 6, 3 и 5 и т.д.)
Ответ: Длина и ширина могут быть (2, 6) или (3, 5), в зависимости от заданной площади (S).
Заключение
Все задачи рассмотрены, и мы получили решения. Если у вас есть дополнительные вопросы по какой-то конкретной задаче или нужно более подробное объяснение, пожалуйста, дайте знать!
