Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 1 1. Решите уравнение 4x ^ 2 + 12x = 0 2. Решите уравнение 4x ^ 2 - 25 = 0 3. Решите уравнение x ^ 2 - 9x + 8 = 0 4. Решите…

Давайте разберем задачи из контрольной работы на тему "Квадратные уравнения" по порядку.

Задача 1: Решите уравнение \(4x^2 + 12x = 0\)

Шаг 1: Вынесем общий множитель
Во-первых, мы можем вынести общий множитель из левой части уравнения. В данном случае, общий множитель — это \(4x\):

\[ 4x(x + 3) = 0 \]

Шаг 2: Применим правило нуля
Теперь, чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Мы имеем два случая:

1. \(4x = 0\)
2. \(x + 3 = 0\)

Шаг 3: Найдем корни
Для первого случая: \[ x = 0 \]

Для второго случая: \[ x + 3 = 0 \implies x = -3 \]

Ответ: \(x = 0\) и \(x = -3\)

---

Задача 2: Решите уравнение \(4x^2 - 25 = 0\)

Шаг 1: Применим формулу разности квадратов
Уравнение можно представить как разность квадратов:

\[ (2x)^2 - 5^2 = 0 \]

По формуле разности квадратов, \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), мы можем записать:

\[ (2x - 5)(2x + 5) = 0 \]

Шаг 2: Найдем корни
Теперь решим каждое из уравнений:

1. \(2x - 5 = 0\) \(\implies x = \frac{5}{2}\)
2. \(2x + 5 = 0\) \(\implies x = -\frac{5}{2}\)

Ответ: \(x = \frac{5}{2}\) и \(x = -\frac{5}{2}\)

---

Задача 3: Решите уравнение \(x^2 - 9x + 8 = 0\)

Шаг 1: Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения
Для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) корни находятся по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим \(a = 1\), \(b = -9\), \(c = 8\):

Шаг 2: Найдем дискриминант
Сначала найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \]

Шаг 3: Подставим в формулу корней
Теперь подставляем дискриминант в формулу корней:

\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 7}{2} \]

Мы находим два корня:

1. \(x_1 = \frac{16}{2} = 8\)
2. \(x_2 = \frac{2}{2} = 1\)

Ответ: \(x = 8\) и \(x = 1\)

---

Задача 4: Решите уравнение \(2x^2 + 4x + 3 = 0\)

Шаг 1: Найдем дискриминант
Сначала найдем дискриминант для данного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 \]

Шаг 2: Определим корни
Поскольку дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.

---

Задача 5: Найдите два натуральных числа, произведение которых равно 187, а одно из которых на 6 больше другого.

Обозначим меньшее число как \(x\). Тогда большее число будет \(x + 6\). Составим уравнение:

\[ x(x + 6) = 187 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + 6x - 187 = 0 \]

Теперь найдем дискриминант:

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-187) = 36 + 748 = 784 \]

Теперь найдем корни:

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 28}{2} \]

Корни:

1. \(x_1 = \frac{22}{2} = 11\)
2. \(x_2 = \frac{-34}{2} = -17\) (не натуральное число)

Следовательно, \(x = 11\) и тогда большее число \(x + 6 = 17\).

Ответ: Числа 11 и 17.

---

Задача 6: Периметр прямоугольника равен 16 см, а площадь \(S = C \cdot M^2\). Найдите длины сторон прямоугольника.

Обозначим длину стороны \(a\) и ширину \(b\). Периметр прямоугольника:

\[ 2(a + b) = 16 \implies a + b = 8 \]

Площадь прямоугольника:

\[ S = a \cdot b \]

Используя первую формулу, выразим \(b\):

\[ b = 8 - a \]

Подставляем это значение во вторую формулу:

\[ S = a(8 - a) = 8a - a^2 \]

Составляя уравнение для площади и периметра:

Пусть площадь равна \(S\):

\[ S = 8a - a^2 \]

Пусть нас интересует \(S\), например, если предположить, что заданные значения зависят от других исходных данных, то мы могли бы искать минимальные значения при различных \(C\) и \(M\).

Но, так как значения произвольны, прямоугольник может быть различным (например, 2 и 6, 3 и 5 и т.д.)

Ответ: Длина и ширина могут быть (2, 6) или (3, 5), в зависимости от заданной площади \(S\).

Заключение

Все задачи рассмотрены, и мы получили решения. Если у вас есть дополнительные вопросы по какой-то конкретной задаче или нужно более подробное объяснение, пожалуйста, дайте знать!