Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 1 1. Решите уравнение 4x ^ 2 + 12x = 0 2. Решите уравнение 4x ^ 2 - 25 = 0 3. Решите уравнение x ^ 2 - 9x + 8 = 0 4. Решите…

Хорошо, давайте последовательно разберём каждый из пунктов контрольной работы, связанную с квадратными уравнениями, подробно объясняя каждое решение.

1. Решите уравнение \( 4x^2 + 12x = 0 \)

Шаг 1: Вынесем общий множитель из уравнения. \[ 4x^2 + 12x = 0 \implies 4x(x + 3) = 0 \]

Шаг 2: Установим каждый множитель равным нулю. \[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad x + 3 = 0 \]

Шаг 3: Найдем корни.

1. \( 4x = 0 \implies x = 0 \)
2. \( x + 3 = 0 \implies x = -3 \)

Ответ: \( x = 0 \) или \( x = -3 \)

---

2. Решите уравение \( 4x^2 - 25 = 0 \)

Шаг 1: Это уравнение можно представить как разность квадратов. \[ 4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = 0 \]

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \). \[ (2x - 5)(2x + 5) = 0 \]

Шаг 3: Устанавливаем каждый множитель равным нулю. \[ 2x - 5 = 0 \quad \text{или} \quad 2x + 5 = 0 \]

Шаг 4: Найдем корни.

1. \( 2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} \)
2. \( 2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2} \)

Ответ: \( x = \frac{5}{2} \) или \( x = -\frac{5}{2} \)

---

3. Решите уравнение \( x^2 - 9x + 8 = 0 \)

Шаг 1: Будем использовать формулу квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1, b = -9, c = 8 \).

Шаг 2: Рассчитаем дискриминант. \[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \]

Шаг 3: Находим корни. \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 7}{2} \]

Шаг 4: Расчитаем два корня.

1. \( x_1 = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
2. \( x_2 = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Ответ: \( x = 8 \) или \( x = 1 \)

---

4. Решите уравнение \( 2x^2 + 4x + 3 = 0 \)

Шаг 1: Используем формулу квадратного уравнения с \( a = 2, b = 4, c = 3 \).

Шаг 2: Рассчитаем дискриминант. \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 \]

Шаг 3: Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Нет действительных корней.

---

5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Пусть первое число \( x \), тогда второе число будет \( x + 6 \). Составим уравнение: \[ x(x + 6) = 187 \]

Шаг 1: Раскроем скобки: \[ x^2 + 6x - 187 = 0 \]

Шаг 2: Найдем дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-187) = 36 + 748 = 784 \]

Шаг 3: Найдем корни: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{-6 \pm 28}{2} \] Корни:

1. \( x_1 = \frac{22}{2} = 11 \)
2. \( x_2 = \frac{-34}{2} \) (отрицательный, не учитываем)

Таким образом, первое число \( 11 \), второе \( 11 + 6 = 17 \).

Ответ: \( 11 \) и \( 17 \)

---

6. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь C * M^2. Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника \( a \) см, а ширина \( b \) см. Тогда у нас есть две формулы:

1. Периметр: \( 2(a + b) = 16 \implies a + b = 8 \)
2. Площадь: \( a \cdot b = S \)

Сначала выразим \( b \): \[ b = 8 - a \]

Теперь подставим \( b \) в уравнение площади: \[ a(8 - a) = S \] Если не указано значение площади, то решение может зависеть от \( S \) и не может быть окончательным с данными, которые у нас есть.

Если известна площадь, можно подставить значение и решить это уравнение, но с текущими данными мы можем только записать зависимость.

Ответ: Уравнение \( a(8 - a) = S \), где \( S \) — заданная площадь.

---

Если есть дополнительные вопросы по каждому пункту или требуется разъяснений, не стесняйтесь задавать!