Хорошо, давайте последовательно разберём каждый из пунктов контрольной работы, связанную с квадратными уравнениями, подробно объясняя каждое решение.
1. Решите уравнение ( 4x^2 + 12x = 0 )
Шаг 1: Вынесем общий множитель из уравнения.
[
4x^2 + 12x = 0 \implies 4x(x + 3) = 0
]
Шаг 2: Установим каждый множитель равным нулю.
[
4x = 0 \quad \text{или} \quad x + 3 = 0
]
Шаг 3: Найдем корни.
- ( 4x = 0 \implies x = 0 )
- ( x + 3 = 0 \implies x = -3 )
Ответ: ( x = 0 ) или ( x = -3 )
2. Решите уравение ( 4x^2 - 25 = 0 )
Шаг 1: Это уравнение можно представить как разность квадратов.
[
4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = 0
]
Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов: ( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ).
[
(2x - 5)(2x + 5) = 0
]
Шаг 3: Устанавливаем каждый множитель равным нулю.
[
2x - 5 = 0 \quad \text{или} \quad 2x + 5 = 0
]
Шаг 4: Найдем корни.
- ( 2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} )
- ( 2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2} )
Ответ: ( x = \frac{5}{2} ) или ( x = -\frac{5}{2} )
3. Решите уравнение ( x^2 - 9x + 8 = 0 )
Шаг 1: Будем использовать формулу квадратного уравнения ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ), где ( a = 1, b = -9, c = 8 ).
Шаг 2: Рассчитаем дискриминант.
[
D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49
]
Шаг 3: Находим корни.
[
x = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 7}{2}
]
Шаг 4: Расчитаем два корня.
- ( x_1 = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 )
- ( x_2 = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 )
Ответ: ( x = 8 ) или ( x = 1 )
4. Решите уравнение ( 2x^2 + 4x + 3 = 0 )
Шаг 1: Используем формулу квадратного уравнения с ( a = 2, b = 4, c = 3 ).
Шаг 2: Рассчитаем дискриминант.
[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8
]
Шаг 3: Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: Нет действительных корней.
5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.
Пусть первое число ( x ), тогда второе число будет ( x + 6 ). Составим уравнение:
[
x(x + 6) = 187
]
Шаг 1: Раскроем скобки:
[
x^2 + 6x - 187 = 0
]
Шаг 2: Найдем дискриминант:
[
D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-187) = 36 + 748 = 784
]
Шаг 3: Найдем корни:
[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{-6 \pm 28}{2}
]
Корни:
- ( x_1 = \frac{22}{2} = 11 )
- ( x_2 = \frac{-34}{2} ) (отрицательный, не учитываем)
Таким образом, первое число ( 11 ), второе ( 11 + 6 = 17 ).
Ответ: ( 11 ) и ( 17 )
6. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь C * M^2. Найдите длины сторон прямоугольника.
Пусть длина прямоугольника ( a ) см, а ширина ( b ) см. Тогда у нас есть две формулы:
- Периметр: ( 2(a + b) = 16 \implies a + b = 8 )
- Площадь: ( a \cdot b = S )
Сначала выразим ( b ):
[
b = 8 - a
]
Теперь подставим ( b ) в уравнение площади:
[
a(8 - a) = S
]
Если не указано значение площади, то решение может зависеть от ( S ) и не может быть окончательным с данными, которые у нас есть.
Если известна площадь, можно подставить значение и решить это уравнение, но с текущими данными мы можем только записать зависимость.
Ответ: Уравнение ( a(8 - a) = S ), где ( S ) — заданная площадь.
Если есть дополнительные вопросы по каждому пункту или требуется разъяснений, не стесняйтесь задавать!
