Для решения задачи о геометрической прогрессии, где заданы условия ( c_1 = 2 ) и ( c_{n-1} = -3c_n ), давайте разберемся по порядку.
Шаг 1: Понимание терминов
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его как ( r )).
Шаг 2: Запись общего члена прогрессии
Можно записать общий член геометрической прогрессии следующим образом:
[ c_n = c_1 \cdot r^{n-1} ]
Шаг 3: Используем данное условие
Подставим первое условие: ( c_1 = 2 ).
Тогда для ( n=2 ):
[ c_2 = c_1 \cdot r^{2-1} = 2r ]
Для ( n=3 ):
[ c_3 = c_1 \cdot r^{3-1} = 2r^2 ]
Теперь давайте рассмотрим второе условие: ( c_{n-1} = -3c_n ). Для ( n=3 ) (так как нужно найти ( c_4 )):
- ( c_2 = -3c_3 ):
[ 2r = -3(2r^2) ]
Шаг 4: Решение уравнения
Теперь у нас есть уравнение:
[ 2r = -6r^2 ]
Переносим все в одну сторону:
[ 6r^2 + 2r = 0 ]
Факторизуем:
[ 2r(3r + 1) = 0 ]
Отсюда видно два возможных решения:
- ( 2r = 0 ) → ( r = 0 ) (не подходим, так как это не будет геометрической прогрессией)
- ( 3r + 1 = 0 ) → ( 3r = -1 ) → ( r = -\frac{1}{3} )
Шаг 5: Находим ( c_4 )
Теперь, когда мы знаем, что ( r = -\frac{1}{3} ), можем найти ( c_4 ):
[ c_4 = c_1 \cdot r^{4-1} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3 ]
Рассчитаем:
[
c_4 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = 2 \cdot -\frac{1}{27} = -\frac{2}{27}
]
Ответ
Таким образом, значение ( c_4 ) равно:
[
c_4 = -\frac{2}{27}
]
