геометрической прогрессия задана условиями с1=2,сn-1=-3cn.найдите с4

Для решения задачи о геометрической прогрессии, где заданы условия \( c_1 = 2 \) и \( c_{n-1} = -3c_n \), давайте разберемся по порядку.

Шаг 1: Понимание терминов

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его как \( r \)).

Шаг 2: Запись общего члена прогрессии

Можно записать общий член геометрической прогрессии следующим образом: \[ c_n = c_1 \cdot r^{n-1} \]

Шаг 3: Используем данное условие

1. Подставим первое условие: \( c_1 = 2 \).

2. Тогда для \( n=2 \): \[ c_2 = c_1 \cdot r^{2-1} = 2r \]

3. Для \( n=3 \): \[ c_3 = c_1 \cdot r^{3-1} = 2r^2 \]

Теперь давайте рассмотрим второе условие: \( c_{n-1} = -3c_n \). Для \( n=3 \) (так как нужно найти \( c_4 \)):

• \( c_2 = -3c_3 \): \[ 2r = -3(2r^2) \]

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь у нас есть уравнение: \[ 2r = -6r^2 \]

Переносим все в одну сторону: \[ 6r^2 + 2r = 0 \]

Факторизуем: \[ 2r(3r + 1) = 0 \]

Отсюда видно два возможных решения:

1. \( 2r = 0 \) → \( r = 0 \) (не подходим, так как это не будет геометрической прогрессией)
2. \( 3r + 1 = 0 \) → \( 3r = -1 \) → \( r = -\frac{1}{3} \)

Шаг 5: Находим \( c_4 \)

Теперь, когда мы знаем, что \( r = -\frac{1}{3} \), можем найти \( c_4 \): \[ c_4 = c_1 \cdot r^{4-1} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3 \]

Рассчитаем: \[ c_4 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = 2 \cdot -\frac{1}{27} = -\frac{2}{27} \]

Ответ

Таким образом, значение \( c_4 \) равно: \[ c_4 = -\frac{2}{27} \]