Прямая y = - 4x + 11 является касательной к графику функции y= x ^ 2 + 6x + 2. Найдите абсциссу точки касания

Чтобы найти абсциссу точки касания прямой \( y = -4x + 11 \) и параболы \( y = x^2 + 6x + 2 \), следуем следующим шагам.

Шаг 1: Найдем производную параболы

Парабола задана уравнением: \[ y = x^2 + 6x + 2 \] Чтобы определить наклон касательной к этой параболе, найдем производную \( y' \): \[ y' = 2x + 6 \]

Шаг 2: Найдем значение производной в точке касания

Касательная прямая имеет угловой коэффициент равный \(-4\). В точке касания производная параболы также должна равняться угловому коэффициенту касательной. Следовательно, решаем уравнение: \[ 2x + 6 = -4 \]

Шаг 3: Решим уравнение для нахождения абсциссы

Переносим \(6\) на правую сторону уравнения: \[ 2x = -4 - 6 \] \[ 2x = -10 \] Теперь делим обе стороны на \(2\): \[ x = -5 \]

Шаг 4: Найдем координаты точки касания

Теперь, когда мы нашли абсциссу точки касания \(x = -5\), можем подставить это значение в уравнение параболы для нахождения соответствующей ординаты.

Подставляем \(x = -5\) в уравнение параболы: \[ y = (-5)^2 + 6(-5) + 2 \] Вычислим: \[ y = 25 - 30 + 2 = -3 \]

Шаг 5: Проверим, что прямая проходит через точку касания

Теперь проверим, что точка \((-5, -3)\) действительно лежит на прямой: \[ y = -4(-5) + 11 = 20 + 11 = 31 \quad \text{(это не равно -3)} \] Показалось, что значение не подошло. Похоже, нам нужно использовать другое значение.

Шаг 6: Используем оба уравнения

Запишем систему уравнений:

1. \(x^2 + 6x + 2 = -4x + 11\) (так как они равны в точке касания)
2. \(2x + 6 = -4\) (мы уже это решали)

Первое уравнение преобразуем: \[ x^2 + 6x + 2 + 4x - 11 = 0 \] \[ x^2 + 10x - 9 = 0 \]

Шаг 7: Найдем корни

Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 100 + 36 = 136 \]

Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{136}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{34}}{2} = -5 \pm \sqrt{34} \] Из них берем только отрицательное значение, потому что нам нужно абсциссу, которая совпадает с касанием: \[ x = -5 + \sqrt{34} \approx -5 + 5.83 \approx 0.83 \quad \text{(приблизительно)} \]

Ответ

Абсцисса точки касания приблизительно равна \( x \approx -5 + \sqrt{34} \).