найдите значение других трёх основных тригонометрических функций, если: cot a= 7/5, 3п<а<2п

Для того чтобы найти значения остальных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса) при заданном значении \(\cot a = \frac{7}{5}\) и диапазоне угла \(3\pi < a < 2\pi\), давайте пошагово разберем задачу.

Шаг 1: Понимание cotangent

Напомним, что котангенс определяется как отношение косинуса к синусу:

\[ \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \]

Это означает, что из нашего значения \(\cot a = \frac{7}{5}\) мы можем записать:

\[ \cos a = 7k \quad \text{и} \quad \sin a = 5k \]

где \(k\) — некоторое положительное число.

Шаг 2: Использование тригонометрического тождества

По известному тригонометрическому тождеству:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Подставим выражения для \(\sin a\) и \(\cos a\):

\[ (5k)^2 + (7k)^2 = 1 \]

Это преобразуется в:

\[ 25k^2 + 49k^2 = 1 \]

\[ 74k^2 = 1 \]

Шаг 3: Нахождение значения k

Решим уравнение для \(k\):

\[ k^2 = \frac{1}{74} \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{\sqrt{74}} \]

Шаг 4: Нахождение значений синуса и косинуса

Теперь подставим значение \(k\) обратно для нахождения синуса и косинуса:

\[ \sin a = 5k = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{74}} = \frac{5}{\sqrt{74}} \]

\[ \cos a = 7k = 7 \cdot \frac{1}{\sqrt{74}} = \frac{7}{\sqrt{74}} \]

Шаг 5: Нахождение тангенса

Теперь можем найти тангенс:

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{5}{\sqrt{74}}}{\frac{7}{\sqrt{74}}} = \frac{5}{7} \]

Шаг 6: Знаки функций в заданном интервале

Поскольку угол \(a\) находится в диапазоне \(3\pi < a < 2\pi\) (четвертый квадрант), знаки тригонометрических функций будут следующими:

• Синус (\(\sin a\)) — отрицательный.
• Косинус (\(\cos a\)) — положительный.
• Тангенс (\(\tan a\)) — отрицательный.

Заключение

На основе приведённых вычислений, окончательные значения тригонометрических функций будут:

• \(\sin a = -\frac{5}{\sqrt{74}}\)
• \(\cos a = \frac{7}{\sqrt{74}}\)
• \(\tan a = -\frac{5}{7}\)

А значения \(\cot a\) остаётся без изменений:

• \(\cot a = \frac{7}{5}\) (как изначально задано).

Вот таким образом были найдены значения трех основных тригонометрических функций.