Найдите значение других трёх основных тригонометрических функций, если: cot a= 7/5, 3п<а<2п

Для того чтобы найти значения остальных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса) при заданном значении \(\cot a = \frac{7}{5}\) и диапазоне угла \(3\pi < a < 2\pi\), давайте пошагово разберем задачу. ### Шаг 1: Понимание cotangent Напомним, что котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: \[ \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \] Это означает, что из нашего значения \(\cot a = \frac{7}{5}\) мы можем записать: \[ \cos a = 7k \quad \text{и} \quad \sin a = 5k \] где \(k\) — некоторое положительное число. ### Шаг 2: Использование тригонометрического тождества По известному тригонометрическому тождеству: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставим выражения для \(\sin a\) и \(\cos a\): \[ (5k)^2 + (7k)^2 = 1 \] Это преобразуется в: \[ 25k^2 + 49k^2 = 1 \] \[ 74k^2 = 1 \] ### Шаг 3: Нахождение значения k Решим уравнение для \(k\): \[ k^2 = \frac{1}{74} \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{\sqrt{74}} \] ### Шаг 4: Нахождение значений синуса и косинуса Теперь подставим значение \(k\) обратно для нахождения синуса и косинуса: \[ \sin a = 5k = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{74}} = \frac{5}{\sqrt{74}} \] \[ \cos a = 7k = 7 \cdot \frac{1}{\sqrt{74}} = \frac{7}{\sqrt{74}} \] ### Шаг 5: Нахождение тангенса Теперь можем найти тангенс: \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{5}{\sqrt{74}}}{\frac{7}{\sqrt{74}}} = \frac{5}{7} \] ### Шаг 6: Знаки функций в заданном интервале Поскольку угол \(a\) находится в диапазоне \(3\pi < a < 2\pi\) (четвертый квадрант), знаки тригонометрических функций будут следующими: - Синус (\(\sin a\)) — отрицательный. - Косинус (\(\cos a\)) — положительный. - Тангенс (\(\tan a\)) — отрицательный. ### Заключение На основе приведённых вычислений, окончательные значения тригонометрических функций будут: - \(\sin a = -\frac{5}{\sqrt{74}}\) - \(\cos a = \frac{7}{\sqrt{74}}\) - \(\tan a = -\frac{5}{7}\) А значения \(\cot a\) остаётся без изменений: - \(\cot a = \frac{7}{5}\) (как изначально задано). Вот таким образом были найдены значения трех основных тригонометрических функций.