Арсений коллекционирует модели автомобилей. В его коллекции 12 ретроавтомобилей и 5 современных автомобилей. Сколькими способами подросток может расставить все экспонаты коллекции…

Для решения этой задачи нам необходимо учитывать, что все ретроавтомобили должны стоять рядом. Мы можем рассматривать группу ретроавтомобилей как один целый объект, поскольку они должны быть в одном блоке.

1. Определим группировку:
   Пусть ретроавтомобили составляют один "блок". Таким образом, у нас есть:

   • 1 блок ретроавтомобилей
   • 5 современных автомобилей

   Это дает нам в сумме 6 объектов для расстановки:

   • 1 блок
   • 5 современных автомобилей

2. Подсчет перестановок:
   Мы можем расставить эти 6 объектов (1 блок + 5 современных автомобилей) различными способами. Количество перестановок n объектов рассчитывается по формуле n! (факториал n). В нашем случае n = 6, поэтому:

   \[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \]

3. Затем перестановка внутри блока ретроавтомобилей:
   Внутри блока ретроавтомобилей у нас есть 12 ретроавтомобилей, которые также могут переставляться между собой. Количество способов расположить 12 ретроавтомобилей равно:

   \[ 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]

   Это число также нужно высчитать, оно равняется 479001600.

4. Общее количество размещений:
   Теперь, чтобы найти общее количество размещений автомобилей на полке, нужно перемножить количество способов расположения 6 объектов и количество способов расположения 12 ретроавтомобилей внутри блока:

   \[ 6! \times 12! = 720 \times 479001600 \]

   Посчитаем это произведение:

   \[ 720 \times 479001600 = 344064000000 \]

Таким образом, Арсений может расставить все экспонаты своей коллекции 344064000000 способами.