реши

Для решения задачи по нахождению промежутков возрастания и убывания функции \( y = -x^3 + 9x^2 + 21x \), следуем шаг за шагом:

1. Найти производную функции

Производная функции \( y = -x^3 + 9x^2 + 21x \) позволит определить критические точки. Используем правила дифференцирования:

\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 9x^2 + 21x) = -3x^2 + 18x + 21 \]

2. Найти критические точки

Критические точки находятся, когда \( y' = 0 \) или производная не определена (во всех точках рациональной функции производная определена, если знаменатель отличный от нуля).

Решаем уравнение:

\[ -3x^2 + 18x + 21 = 0 \]

Чтобы решить квадратное уравнение, применим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 21 = 324 + 252 = 576 \]

Находим корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 \pm \sqrt{576}}{-6} \]

\[ \sqrt{576} = 24 \]

Тогда:

\[ x_1 = \frac{-18 + 24}{-6} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-18 - 24}{-6} = 7 \]

3. Определить знаки производной на промежутках

Рассмотрим интервалы: \((-\infty, -1)\), \((-1, 7)\), и \((7, \infty)\).

• Для \( x \in (-\infty, -1) \), выберем точку \( x = -2 \) и посчитаем: \[ y'(-2) = -3(-2)^2 + 18(-2) + 21 = -12 - 36 + 21 = -27 \quad (\text{отрицательно}) \]

• Для \( x \in (-1, 7) \), выберем точку \( x = 0 \) и посчитаем: \[ y'(0) = -3(0)^2 + 18(0) + 21 = 21 \quad (\text{положительно}) \]

• Для \( x \in (7, \infty) \), выберем точку \( x = 8 \) и посчитаем: \[ y'(8) = -3(8)^2 + 18(8) + 21 = -192 + 144 + 21 = -27 \quad (\text{отрицательно}) \]

4. Определить промежутки возрастания и убывания

• Функция убывает на \((-\infty, -1) \cup (7, \infty)\).
• Функция возрастает на \((-1, 7)\).

Таким образом, мы нашли промежутки возрастания и убывания функции \( y = -x^3 + 9x^2 + 21x \).