Вопрос 4
Алеша разработал фанерную коробку. Но когда собрался вырезать ее на лазерном станке, нужного размера материала не нашел, и вместо 3 мм фанеры взял кусок толщиной 5 мм. Внешний габарит коробочки 30 мм на 30 мм на 60 мм он увеличить не мог, поэтому скорректировал свою работу под новую толщину фанеры, не меняя внешних размеров. На сколько уменьшился объем шкатулки? Ответ дайте в целых кубических сантиметрах, округлив по правилам до ближайшего целого значения, считая, что сверху и со всех сторон вычитается только толщина фанеры.
Для решения задачи сначала рассчитаем объем шкатулки при толщине фанеры 3 мм и затем при толщине 5 мм. Объем шкатулки можно вычислить по формуле:
\[
V = a \cdot b \cdot h
\]
где \(a\), \(b\) и \(h\) — это длина, ширина и высота шкатулки соответственно.
1. **Внешний объем шкатулки**:
Внешние размеры шкатулки:
- Длина \(a = 30\) мм
- Ширина \(b = 30\) мм
- Высота \(h = 60\) мм
Сначала переведем размеры в сантиметры:
\[
a = 30 \text{ мм} = 3 \text{ см}
\]
\[
b = 30 \text{ мм} = 3 \text{ см}
\]
\[
h = 60 \text{ мм} = 6 \text{ см}
\]
Рассчитаем внешний объем:
\[
V_{внеш} = 3 \cdot 3 \cdot 6 = 54 \text{ см}^3
\]
2. **Внутренний объем шкатулки при толщине фанеры 3 мм**:
Так как толщина фанеры 3 мм, это эквивалентно 0,3 см. Внутренние размеры шкатулки будут равны:
- Длина: \(3 - 2 \cdot 0,3 = 3 - 0,6 = 2,4\) см
- Ширина: \(3 - 2 \cdot 0,3 = 3 - 0,6 = 2,4\) см
- Высота: \(6 - 2 \cdot 0,3 = 6 - 0,6 = 5,4\) см
Рассчитаем внутренний объем:
\[
V_{внутр, 3 \text{ мм}} = 2,4 \cdot 2,4 \cdot 5,4
\]
Рассчитаем шаг за шагом:
\[
2,4 \cdot 2,4 = 5,76
\]
\[
5,76 \cdot 5,4 = 31,104 \text{ см}^3
\]
3. **Внутренний объем шкатулки при толщине фанеры 5 мм**:
Теперь изменим толщину фанеры на 5 мм (0,5 см). Внутренние размеры шкатулки будут равны:
- Длина: \(3 - 2 \cdot 0,5 = 3 - 1 = 2\) см
- Ширина: \(3 - 2 \cdot 0,5 = 3 - 1 = 2\) см
- Высота: \(6 - 2 \cdot 0,5 = 6 - 1 = 5\) см
Рассчитаем внутренний объем:
\[
V_{внутр, 5 \text{ мм}} = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 20 \text{ см}^3
\]
4. **Уменьшение объема шкатулки**:
Теперь найдем разницу между внутренними объемами:
\[
Уменьшение объема = V_{внутр, 3 \text{ мм}} - V_{внутр, 5 \text{ мм}} = 31,104 - 20
\]
\[
Уменьшение объема = 11,104 \text{ см}^3
\]
Округляем до ближайшего целого:
\[
Уменьшение объема \approx 11 \text{ см}^3
\]
Таким образом, объем шкатулки уменьшился на **11 кубических сантиметров**.
