Коммунальная служба обслуживает три района, вероятности неприемлемого обслуживания (или полного отсутствия уборки) каждого из которых в течение часа соответственно равны 0,02; 0,17; 0,22. Составь закон распределения, где случайная величина X - число районов, не требующих уборки в течение часа.
(При необходимости ответ округли до тысячных.)
Величина X
- все районы не убраны
1 … два района не убрано
2 - один район не убран
3 - все районы убраны
Вероятность
Чтобы решить задачу, давайте сначала поймем, что такое случайная величина и как мы можем составить закон распределения для данной ситуации. Здесь нам даны вероятности неприемлемого обслуживания для трёх районов, у которых значения:
- Район 1: P(не убран) = 0,02
- Район 2: P(не убран) = 0,17
- Район 3: P(не убран) = 0,22
Сначала определим вероятности, что каждый район убран. Вероятность того, что район будет убран, равна 1 минус вероятность того, что он не будет убран. Таким образом,
- P(убран 1) = 1 - P(не убран 1) = 1 - 0,02 = 0,98
- P(убран 2) = 1 - P(не убран 2) = 1 - 0,17 = 0,83
- P(убран 3) = 1 - P(не убран 3) = 1 - 0,22 = 0,78
Теперь мы можем составить закон распределения случайной величины \(X\), которая представляет количество районов, не требующих уборки в течение часа. Возможные значения \(X\) могут быть 0, 1, 2 и 3, где:
- \(X = 0\): все районы убраны.
- \(X = 1\): один район не убран, два убраны.
- \(X = 2\): два района не убраны, один убран.
- \(X = 3\): все районы не убраны.
Теперь вычислим вероятности для каждого значения \(X\).
### 1. Вероятность \(X = 0\) (все районы убраны)
\[ P(X = 0) = P(убран 1) \times P(убран 2) \times P(убран 3) \]
\[
= 0,98 \times 0,83 \times 0,78 = 0,640044
\]
### 2. Вероятность \(X = 1\) (один район не убран)
Мы можем выбрать один из трёх районов, который не будет убран. Мы будем учитывать каждую комбинацию:
- Район 1 не убран:
\[ P(не убран 1) \times P(убран 2) \times P(убран 3) = 0,02 \times 0,83 \times 0,78 \]
\[
= 0,02 \times 0,83 \times 0,78 = 0,012948
\]
- Район 2 не убран:
\[ P(убран 1) \times P(не убран 2) \times P(убран 3) = 0,98 \times 0,17 \times 0,78 \]
\[
= 0,98 \times 0,17 \times 0,78 = 0,025626
\]
- Район 3 не убран:
\[ P(убран 1) \times P(убран 2) \times P(не убран 3) = 0,98 \times 0,83 \times 0,22 \]
\[
= 0,98 \times 0,83 \times 0,22 = 0,017126
\]
Теперь суммируем вероятности:
\[
P(X = 1) = 0,012948 + 0,025626 + 0,017126 = 0,055700
\]
### 3. Вероятность \(X = 2\) (два района не убраны)
Здесь мы можем выбрать два района из трёх. Таким образом, рассчитаем:
- Районы 1 и 2 не убраны:
\[ P(не убран 1) \times P(не убран 2) \times P(убран 3) = 0,02 \times 0,17 \times 0,78 \]
\[
= 0,002628
\]
- Районы 1 и 3 не убраны:
\[ P(не убран 1) \times P(убран 2) \times P(не убран 3) = 0,02 \times 0,83 \times 0,22 \]
\[
= 0,003658
\]
- Районы 2 и 3 не убраны:
\[ P(убран 1) \times P(не убран 2) \times P(не убран 3) = 0,98 \times 0,17 \times 0,22 \]
\[
= 0,035164
\]
Теперь суммируем вероятности:
\[
P(X = 2) = 0,002628 + 0,003658 + 0,035164 = 0,041450
\]
### 4. Вероятность \(X = 3\) (все районы не убраны)
\[
P(X = 3) = P(не убран 1) \times P(не убран 2) \times P(не убран 3) = 0,02 \times 0,17 \times 0,22
\]
\[
= 0,000748
\]
### Обобщение и закон распределения
Теперь мы имеем все вероятности:
- \(P(X = 0) = 0,640044 \approx 0,640\)
- \(P(X = 1) = 0,055700 \approx 0,056\)
- \(P(X = 2) = 0,041450 \approx 0,041\)
- \(P(X = 3) = 0,000748 \approx 0,001\)
Таким образом, закон распределения случайной величины \(X\) можно представить следующим образом:
| \(X\) | Вероятность \(P(X)\) |
|---------|-----------------------|
| 0 | 0,640 |
| 1 | 0,056 |
| 2 | 0,041 |
| 3 | 0,001 |
Проверив сумму вероятностей:
\[
0,640 + 0,056 + 0,041 + 0,001 \approx 0,738
\]
Таким образом, мы составили закон распределения и определили вероятности для каждого возможного значения случайной величины \(X\).
