В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 3, а сторона основания равна 4,5. Найдите высоту пирамиды.

Чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, нам нужно иметь представление о её геометрических свойствах. В правильной треугольной пирамиде основание является равносторонним треугольником, а все боковые ребра равны друг другу. **Дано:** - Длина бокового ребра (а) = 3 - Длина стороны основания (b) = 4,5 **Необходимо найти:** высоту пирамиды (h). ### Шаг 1: Вычисление высоты основания Так как основание — равносторонний треугольник, можем найти высоту треугольника, который равен половине стороны. Формула для высоты равностороннего треугольника: \[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot b \] Подставим значение стороны основания: \[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4,5 \] \[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3} \cdot 4,5}{2} = \frac{4,5\sqrt{3}}{2} = 2,25\sqrt{3} \] ### Шаг 2: Вычисление расстояния от центра основания до вершины Теперь нам нужно найти расстояние от центра основания до одной из вершин треугольника (это будет радиус описанной окружности равностороннего треугольника). Формула для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника: \[ R = \frac{b}{\sqrt{3}} \] Подставим значение стороны основания: \[ R = \frac{4,5}{\sqrt{3}} = \frac{4,5\sqrt{3}}{3} \] ### Шаг 3: Используем теорему Пифагора Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором: - одна катета равна высоте основания (h_{осн}), - другой катет равен радиусу описанной окружности (R), - а гипотенуза равна боковому ребру (a). Согласно теореме Пифагора: \[ h^2 + R^2 = a^2 \] Подставим наши значения: \[ h^2 + \left(\frac{4,5\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 3^2 \] \[ h^2 + \frac{20,25}{3} = 9 \] Перепишем уравнение: \[ h^2 = 9 - \frac{20,25}{3} \] Приведем к общему знаменателю: \[ 9 = \frac{27}{3} \] Таким образом, \[ h^2 = \frac{27}{3} - \frac{20,25}{3} = \frac{27 - 20,25}{3} = \frac{6,75}{3} = 2,25 \] Последним шагом будет извлечение квадратного корня: \[ h = \sqrt{2,25} = 1,5 \] ### Ответ: Высота пирамиды составляет 1,5.