Х в квадрате + 6 х +8 больше или равно 0
Чтобы решить неравенство \( x^2 + 6x + 8 \geq 0 \), давайте следовать шаг за шагом.
Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения
Сначала мы найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 6x + 8 = 0 \) с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае:
- \( a = 1 \)
- \( b = 6 \)
- \( c = 8 \)
Подставим значения в формулу:
\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
Шаг 2: Найдем корни уравнения
Так как дискриминант положителен (\( D > 0 \)), у уравнения есть два различных корня. Корни находят по формуле:
\[ x_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{2a}, \quad x_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_1 = \frac{{-6 + \sqrt{4}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-6 + 2}}{2} = \frac{{-4}}{2} = -2 \]
\[ x_2 = \frac{{-6 - \sqrt{4}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-6 - 2}}{2} = \frac{{-8}}{2} = -4 \]
Таким образом, корни уравнения \( x^2 + 6x + 8 = 0 \) - это \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = -4 \).
Шаг 3: Определим интервалы
Корни разделяют числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, -4) \)
- \( (-4, -2) \)
- \( (-2, +\infty) \)
Шаг 4: Проверим знаки на каждом интервале
Мы выбираем тестовые точки из каждого интервала и подставляем их в неравенство \( x^2 + 6x + 8 \):
Интервал \( (-\infty, -4) \): Возьмем, к примеру, \( x = -5 \): \[ (-5)^2 + 6(-5) + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 \quad (\text{положительное}) \]
Интервал \( (-4, -2) \): Возьмем, к примеру, \( x = -3 \): \[ (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \quad (\text{отрицательное}) \]
Интервал \( (-2, +\infty) \): Возьмем, к примеру, \( x = 0 \): \[ 0^2 + 6(0) + 8 = 8 \quad (\text{положительное}) \]
Шаг 5: Запишем ответ
Неравенство \( x^2 + 6x + 8 \geq 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -4] \) и \( [-2, +\infty) \).
Таким образом, окончательный ответ:
\[ x \in (-\infty, -4] \cup [-2, +\infty) \]
Таким образом, у нас есть два интервала, на которых неравенство выполняется, включая сами границы, так как у нас неравенство «больше либо равно».
