10x-3y=17 12x-8y=24
Чтобы решить систему уравнений:
- \( 10x - 3y = 17 \)
- \( 12x - 8y = 24 \)
мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. В данном случае мы воспользуемся методом исключения, начиная с того, чтобы сделать обе equations совместимыми по одному из переменных.
Шаг 1: Приведение уравнений к совместимому виду
Для того чтобы удобно исключить одну из переменных, мы можем привести коэффициенты перед \(y\) в обеих уравнениях к общему значению. У первого уравнения перед \(y\) стоит -3, а во втором -8. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел — 24.
Умножим первое уравнение на 8: \[ 8(10x - 3y) = 8(17) \implies 80x - 24y = 136 \]
Умножим второе уравнение на 3: \[ 3(12x - 8y) = 3(24) \implies 36x - 24y = 72 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( 80x - 24y = 136 \)
- \( 36x - 24y = 72 \)
Шаг 2: Исключение переменной \(y\)
Теперь вычтем второе уравнение из первого: \[ (80x - 24y) - (36x - 24y) = 136 - 72 \] Упрощая, получаем: \[ 80x - 36x = 136 - 72 \implies 44x = 64 \] Решим для \(x\): \[ x = \frac{64}{44} = \frac{16}{11} \]
Шаг 3: Подставим значение \(x\) в одно из уравнений
Теперь подставим найденное значение \(x\) в одно из исходных уравнений. В данном случае подставим в первое: \[ 10\left(\frac{16}{11}\right) - 3y = 17 \] Умножим 10 на \(\frac{16}{11}\): \[ \frac{160}{11} - 3y = 17 \]
Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на 11: \[ 160 - 33y = 187 \] Преобразуем его для нахождения \(y\): \[ -33y = 187 - 160 \implies -33y = 27 \implies y = -\frac{27}{33} = -\frac{9}{11} \]
Шаг 4: Запишем решение
Итак, мы нашли значения: \[ x = \frac{16}{11}, \quad y = -\frac{9}{11} \]
Ответ:
\[ x = \frac{16}{11}, \quad y = -\frac{9}{11} \]
Пояснение
Мы решили систему уравнений, используя метод исключения. Сначала мы совместили коэффициенты одной переменной, затем вычли одно уравнение из другого, а затем подставили найденное значение в одно из уравнений, чтобы получить вторую переменную. Это стандартный подход для решения линейных систем, который можно использовать с различными методами.
