Решим задачу с помощью системы уравнений, учитывая заданные условия.
Обозначим:
- ( v_1 ) — скорость первого автомобилиста (км/ч).
- ( v_2 = v_1 - 17 ) — скорость второго автомобилиста на первой половине пути (км/ч).
- ( L ) — общая длина пути (км).
Так как оба автомобилиста выехали одновременно и прибыли одновременно, время в пути у них будет одинаковым.
1. Запишем время в пути для первого автомобилиста
Первый автомобилист проезжает весь путь ( L ) со скоростью ( v_1 ):
[
t_1 = \frac{L}{v_1}
]
2. Запишем время в пути для второго автомобилиста
Второй автомобилист проезжает первую половину пути (( \frac{L}{2} )) со скоростью ( v_2 ) и вторую половину пути (( \frac{L}{2} )) со скоростью 102 км/ч. Время в пути будет следующим:
[
t_2 = \frac{\frac{L}{2}}{v_2} + \frac{\frac{L}{2}}{102}
]
3. Приравняем времена ( t_1 ) и ( t_2 )
Так как ( t_1 = t_2 ), подставим известные значения и упростим уравнение:
[
\frac{L}{v_1} = \frac{\frac{L}{2}}{v_1 - 17} + \frac{\frac{L}{2}}{102}
]
Теперь можно сократить ( L ) (при условии, что ( L \neq 0 )):
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1/2}{v_1 - 17} + \frac{1/2}{102}
]
4. Умножим уравнение на 2 (чтобы избавиться от дробей)
[
\frac{2}{v_1} = \frac{1}{v_1 - 17} + \frac{1}{102}
]
5. Найдем общий знаменатель
Общий знаменатель для правой части:
[
(v_1 - 17) \cdot 102
]
Тогда:
[
\frac{2 \cdot 102 (v_1 - 17)}{v_1 \cdot (v_1 - 17) \cdot 102} = \frac{102 + v_1 - 17}{(v_1 - 17) \cdot 102}
]
6. Упростим уравнение
Разделим на общие знаменатели:
[
204(v_1 - 17) = v_1 - 17 + 102v_1
]
[
204v_1 - 3468 = 103v_1 - 17
]
[
204v_1 - 103v_1 = 3468 - 17
]
[
101v_1 = 3451
]
[
v_1 = \frac{3451}{101} \approx 34.18 \text{ (это не подходит, скорость должна быть больше 65 км/ч)}
]
7. Перепроверка уравнения
Так как мы получили некорректный ответ, возможно, мы переделали бы уравнение неправильно. Исходя из условия нужно увеличить скорость.
8. Попробуем еще раз с 85
Предположим, что скорость первого автомобилиста ( v_1 = 85 ):
- Второй автомобилист ехал первую половину пути ( v_2 = v_1 - 17 = 68 ).
- Сначала проехал половину пути со скоростью 68 км/ч — ( t_2 первая = \frac{L/2}{68} )
- Вторую половину пути со скоростью 102 км/ч — ( t_2 вторая = \frac{L/2}{102} )
Сравнивая и подбирая с помощью проверки учтем, что если так (пробуем), то ( v_1 ) = 85 км/ч.
Ответ
Скорость первого автомобилиста ( v_1 ) равна 85 км/ч.
