Окружность касается сторон равнобедренной трапеции с острым углом 50°. Найдите градусный меры дуг,на которые делят окружность точки касания.

Чтобы решить задачу, начнем с того, что нам нужно понять, как связаны окружность, стороны равнобедренной трапеции и углы.

Шаг 1: Обозначим элементы задачи

Равнобедренная трапеция имеет два параллельных основания и два боковых равных угла. В нашей трапеции угол при основании обозначим как \( \alpha = 50^\circ \).

Let us denote:

• \( A \) и \( B \) — основание, которым равен \( a \).
• \( C \) и \( D \) — основание с меньшей длиной, которым равен \( b \).
• \( AB \) и \( CD \) — стороны трапеции, которые равны между собой (равнобедренные), обозначенные как \( c \).

Шаг 2: Рассмотрим окружность

Окружность, которая касается всех сторон трапеции, называется вписанной окружностью. Она касается сторон \( AB, AD, BC, CD \) в точках:

• Точка касания с \( AB \) — \( P \)
• Точка касания с \( AD \) — \( Q \)
• Точка касания с \( BC \) — \( R \)
• Точка касания с \( CD \) — \( S \)

Шаг 3: Связь углов и дуг

Согласно свойствам вписанных углов, угол, образованный двумя радиусами, проведенными к точкам касания, равен половине угла между касательными к окружности в этих точках.

Угол между сторонами \( AD \) и \( AB \), так как он равен \( 50^\circ \), делит вписанную окружность на две дуги:

• Дуговая угловая мера между точками \( P \) и \( Q \) (опирающиеся на сторону \( AD \)) равна: \( 2 \times 50^\circ = 100^\circ \)

Так как основание трапеции равнобедренное, угол между боковыми сторонами \( BC \) и \( CD \) такой же. Поэтому, аналогично, мы получаем:

• Дуговая угловая мера между точками \( R \) и \( S \) (опирающиеся на сторону \( BC \)) также равна \( 100^\circ \).

Шаг 4: Нахождение оставшихся дуг

Так как полный круг составляет \( 360^\circ \), дуги между точками \( Q \) и \( R \) и между точками \( S \) и \( P \) будут:

\[ \text{Дуга } QR = \frac{360^\circ - 100^\circ}{2} = \frac{260^\circ}{2} = 130^\circ \]

\[ \text{Дуга } SP = \frac{360^\circ - 100^\circ}{2} = \frac{260^\circ}{2} = 130^\circ \]

Итог

Таким образом, мы получили следующее распределение углов между точками касания окружности:

• Мера дуги между \( P \) и \( Q \) = \( 100^\circ \)
• Мера дуги между \( Q \) и \( R \) = \( 130^\circ \)
• Мера дуги между \( R \) и \( S \) = \( 100^\circ \)
• Мера дуги между \( S \) и \( P \) = \( 130^\circ \)

Получается, что искомые градусные меры дуг, на которые делят окружность точки касания, составляют \( 100^\circ \) и \( 130^\circ \).