Окружность касается сторон равнобедренной трапеции с острым углом 50°. Найдите градусный меры дуг,на которые делят окружность точки касания.

Чтобы решить задачу, начнем с того, что нам нужно понять, как связаны окружность, стороны равнобедренной трапеции и углы. ### Шаг 1: Обозначим элементы задачи Равнобедренная трапеция имеет два параллельных основания и два боковых равных угла. В нашей трапеции угол при основании обозначим как \( \alpha = 50^\circ \). Let us denote: - \( A \) и \( B \) — основание, которым равен \( a \). - \( C \) и \( D \) — основание с меньшей длиной, которым равен \( b \). - \( AB \) и \( CD \) — стороны трапеции, которые равны между собой (равнобедренные), обозначенные как \( c \). ### Шаг 2: Рассмотрим окружность Окружность, которая касается всех сторон трапеции, называется вписанной окружностью. Она касается сторон \( AB, AD, BC, CD \) в точках: - Точка касания с \( AB \) — \( P \) - Точка касания с \( AD \) — \( Q \) - Точка касания с \( BC \) — \( R \) - Точка касания с \( CD \) — \( S \) ### Шаг 3: Связь углов и дуг Согласно свойствам вписанных углов, угол, образованный двумя радиусами, проведенными к точкам касания, равен половине угла между касательными к окружности в этих точках. Угол между сторонами \( AD \) и \( AB \), так как он равен \( 50^\circ \), делит вписанную окружность на две дуги: - Дуговая угловая мера между точками \( P \) и \( Q \) (опирающиеся на сторону \( AD \)) равна: \( 2 \times 50^\circ = 100^\circ \) Так как основание трапеции равнобедренное, угол между боковыми сторонами \( BC \) и \( CD \) такой же. Поэтому, аналогично, мы получаем: - Дуговая угловая мера между точками \( R \) и \( S \) (опирающиеся на сторону \( BC \)) также равна \( 100^\circ \). ### Шаг 4: Нахождение оставшихся дуг Так как полный круг составляет \( 360^\circ \), дуги между точками \( Q \) и \( R \) и между точками \( S \) и \( P \) будут: \[ \text{Дуга } QR = \frac{360^\circ - 100^\circ}{2} = \frac{260^\circ}{2} = 130^\circ \] \[ \text{Дуга } SP = \frac{360^\circ - 100^\circ}{2} = \frac{260^\circ}{2} = 130^\circ \] ### Итог Таким образом, мы получили следующее распределение углов между точками касания окружности: - Мера дуги между \( P \) и \( Q \) = \( 100^\circ \) - Мера дуги между \( Q \) и \( R \) = \( 130^\circ \) - Мера дуги между \( R \) и \( S \) = \( 100^\circ \) - Мера дуги между \( S \) и \( P \) = \( 130^\circ \) Получается, что искомые градусные меры дуг, на которые делят окружность точки касания, составляют \( 100^\circ \) и \( 130^\circ \).