На рисунке 195 две окружности имеют общий центр О. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные DE и КР, пересекающиеся в точке N. Найдите DN, если DE = 10 см, а радиус меньшей окружности равен 3 см.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами касательных и прямых, которые связаны с окружностями. ### Дано: - DE (касательная) = 10 см - Радиус меньшей окружности (OM) = 3 см - О — центр окружности - DE и KR — перпендикулярные касательные к меньшей окружности - N — точка пересечения DE и KR - DN — отрезок, который необходимо найти ### Решение: 1. **Понимание геометрии проблемы:** Так как DE — это касательная к окружности, перпендикулярная радиусу OM, то отрезок от точки касания D до центра окружности O образует прямой угол с касательной DE. Это значит, что треугольник ODM прямоугольный. 2. **Определим отрезок OD:** Поскольку OM = 3 см (радиус) и DE = 10 см (касательная), по теореме Пифагора в треугольнике ODM имеем: \[ OD^2 + DM^2 = DE^2 \] Здесь DM — это расстояние от точки D до точки M, где M — это точка касания. Так как радиус окружности OM = 3 см, отрезок OD равен радиусу: \[ OD = OM = 3\, \text{см} \] Теперь можем выразить DM: \[ 3^2 + DM^2 = 10^2 \] \[ 9 + DM^2 = 100 \] \[ DM^2 = 100 - 9 = 91 \] \[ DM = \sqrt{91} \approx 9.54\, \text{см} \] 3. **Определение DN:** Так как N — это точка, где пересекаются касательные, то, по свойству перпендикулярных отрезков: Все отрезки, проведенные от O до касательных, равны радиусу окружности. Таким образом, мы можем использовать аналогичное вычисление для точек KR. Мы знаем, что: \[ DN = DM \] Следовательно, DN будет равно тому же значению, что и DM: \[ DN = 9.54\, \text{см} \] ### Ответ: Таким образом, длина отрезка DN составляет приблизительно \( 9.54 \, \text{см} \).