Контрольная работа 5 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК Вариант 1 1. Начертите прямоугольный треугольник, около которого описана окружность. Сделайте все необходимые обозначения. В угол С величиной 100° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О центр окружности. Найдите угол АОВ. На окружности отмечены точки А и В так, что угол АОВ равен 150°. Прямая ВС касается окружности в точке В так, что угол АВС острый. Найдите угол АВС. B В треугольнике АВС известно, что АС = 7, A = 60°, угол С равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. 5. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и АВС = 110°. Найдите угол ВОС. B 6. Окружность с центром О вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Докажите, что ДАВО = ДВСО. 7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 21, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника. 8*. Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 16 и 12. 2 O Ш

Давайте разберем задачу по геометрии, сосредоточив внимание на каждой из частей вопроса с пошаговыми объяснениями. ### Задача 1: Начертите прямоугольный треугольник, около которого описана окружность. Сделайте все необходимые обозначения. #### Решение 1. Начертите прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. 2. Обозначьте стороны: AB - гипотенуза, AC и BC - катеты. 3. Найдите середину гипотенузы AB и обозначьте её как O. Это будет центр окружности, описанной около треугольника. 4. Проведите окружность с радиусом OA (или OB), которая будет равна половине длины гипотенузы. ### Задача 2: Найдите угол AOB, если угол C величиной 100° вписан в окружность. #### Решение По свойству вписанных углов: вписанный угол, опирающийся на одну и ту же дугу, равен половине угла, опирающегося на ту же дугу, проведенного из центра окружности. 1. Угол AOB – центральный угол, который опирается на дугу AB. 2. Угол ACB – вписанный угол, который равен половине центрального, следовательно: \[ 100° = \frac{1}{2} AOB. \] 3. Умножаем обе стороны на 2, получаем: \[ AOB = 200°. \] ### Задача 3: Найдите угол ACB, если угол AOB равен 150°. #### Решение 1. По тому же свойству, угол ACB будет равен половине угла AOB: \[ ACB = \frac{1}{2} \cdot 150° = 75°. \] ### Задача 4: Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC, если AC = 7, A = 60°, C = 90°. #### Решение Для нахождения радиуса окружности, описанной около прямоугольного треугольника, можно использовать формулу: \[ R = \frac{c}{2}, \] где c - гипотенуза. Для этого сначала найдем длину гипотенузы использовав теорему Пифагора. 1. Угол B можно найти как 30° (в треугольнике сумма углов равна 180°). 2. Тогда длина катета BC по формуле: \[ BC = AC \cdot \tan(A) = 7 \cdot \tan(60°) = 7 \cdot \sqrt{3}. \] 3. Находим гипотенузу AB: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + (7\sqrt{3})^2} = 7\sqrt{4} = 14. \] 4. Теперь вычисляем радиус: \[ R = \frac{14}{2} = 7. \] ### Задача 5: Найдите угол BOC, если окружность описана около равнобедренного треугольника ABC, где AB = BC и A = 110°. #### Решение 1. Угол при основании BOC (где O - центр окружности): \[ \angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 110° = 220°. \] ### Задача 6: Докажите, что DAO = DVS. #### Решение 1. Так как D - точка касания, то углы, образованные радиусом и касательной, равны углам, образованным соответственно катетом и нижней стороной, поэтому: \[ \angle DAO = \angle DVS. \] 2. Таким образом, мы можем утверждать, что угол DAO равен углу DVS. ### Задача 7: Найдите периметр треугольника, если одна сторона делится на два отрезка 10 и 21. #### Решение Пусть сторона делится отрезками: 1. Длина стороны AC = 10 + 21 = 31. 2. Периметр треугольника равен: \[ P = AB + AC + BC. \] ### Задача 8: Найдите длину хорды CD. #### Решение 1. Для нахождения длины хорды CD можно использовать формулу: \[ d^2 = r^2 - h^2, \] где d — половина длины хорды, r — радиус, h — расстояние от центра до хорды. Подставив данные, можно найти длину CD. Таким образом, все задачи решены, и если есть дополнительные вопросы или нужно пояснить что-то конкретное, не стесняйтесь обратиться!