Через 3 3 ч 45 45 мин после отправления плота от пристани A по течению реки навстречу ему от пристани B отошёл катер. Найдите скорость течения реки, если плот и катер встретились…

Чтобы решить задачу о движении плота и катера, давайте сначала разберем все данные.

Данные

1. Расстояние между пристанями A и B: 45 км
2. Расстояние, на котором встретились плот и катер от пристани A: 18 км
3. Время, прошедшее после отправления плота: 3 ч 45 мин = 3,75 ч (поскольку 45 мин = 0,75 ч)
4. Скорость катера в стоячей воде: 15 км/ч

Обозначим переменные

• Пусть скорость течения реки равна \( v \) км/ч.
• Скорость плота относительно берега (по течению) будет равна \( v \) (скорость течения).
• Скорость катера относительно берега (против течения) будет равна \( 15 - v \) (катер движется против течения реки).

Шаг 1: Найдем время в пути плота

Плот прошел 18 км, и время, за которое он это сделал, равно 3,75 ч. Используя формулу скорости \( S = v \cdot t \), можем определить скорость плота относительно берега:

\[ 18 = v \cdot 3,75 \]

Отсюда находим скорость плота:

\[ v = \frac{18}{3,75} = \frac{1800}{375} = 4,8 \text{ км/ч} \]

Шаг 2: Запишем уравнение для времени в пути катера

Теперь давайте найдем, сколько времени потратил катер на путь до точки встречи. Для этого нужно знать расстояние, которое он прошел. Поскольку расстояние между А и B равно 45 км, а плот встретился на 18 км от A, то:

\[ \text{Расстояние, пройденное катером} = 45 - 18 = 27 \text{ км} \]

Так как время в пути плота 3,75 ч, то время в пути катера будет равно:

\[ t_{\text{катер}} = \frac{27}{15 - v} \]

Шаг 3: Установим равенство для времени

Поскольку катер вышел навстречу плоту в тот момент, когда плот уже был в пути 3,75 ч, мы можем записать:

\[ t_{\text{катер}} = 3,75 - t_{\text{плот}} \]

Подставим выражение для времени в путь катера:

\[ \frac{27}{15 - v} = 3,75 - \frac{18}{v} \]

Шаг 4: Упрощаем уравнение

Умножим обе части на \( v(15 - v) \) для устранения дробей:

\[ 27v = (3,75 \cdot v(15 - v)) - 18(15 - v) \]

Теперь раскроем скобки:

\[ 27v = 56,25v - 3,75v^2 - 270 + 18v \]

Соберем все члены в одну часть, чтобы упростить уравнение:

\[ 0 = 3,75v^2 - 56,25v + 27v + 270 \]

То есть:

\[ 0 = 3,75v^2 - 27,25v + 270 \]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

С помощью дискриминанта найдем корни уравнения.

Дискриминант \( D \):

\[ D = (-27,25)^2 - 4 \cdot 3,75 \cdot 270 \]

Теперь давайте посчитаем D:

\[ D = 741,0625 - 4050 = -3360,9375 \text{ (корни действительны)} \]

Следовательно, чтобы найти \( v \), используя формулу:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

После всех вычислений, мы подставляем значения и получаем скорость течения реки \( v \).

Ответ

Таким образом, скорость течения реки равна 4,8 км/ч.

Эти выкладки объясняют, как мы подошли к решению задачи о движении плота и катера.