Через 3 3  ч 45 45  мин после отправления плота от пристани A по течению реки навстречу ему от пристани B отошёл катер. Найдите скорость течения реки, если плот и катер встретились на расстоянии 18 18  км от пристани A, скорость катера в стоячей воде равна 15 15  км/ч, а расстояние между пристанями A и B равно 45 45  км.

Чтобы решить задачу о движении плота и катера, давайте сначала разберем все данные. ### Данные 1. **Расстояние между пристанями A и B:** 45 км 2. **Расстояние, на котором встретились плот и катер от пристани A:** 18 км 3. **Время, прошедшее после отправления плота:** 3 ч 45 мин = 3,75 ч (поскольку 45 мин = 0,75 ч) 4. **Скорость катера в стоячей воде:** 15 км/ч ### Обозначим переменные - Пусть скорость течения реки равна \( v \) км/ч. - Скорость плота относительно берега (по течению) будет равна \( v \) (скорость течения). - Скорость катера относительно берега (против течения) будет равна \( 15 - v \) (катер движется против течения реки). ### Шаг 1: Найдем время в пути плота Плот прошел 18 км, и время, за которое он это сделал, равно 3,75 ч. Используя формулу скорости \( S = v \cdot t \), можем определить скорость плота относительно берега: \[ 18 = v \cdot 3,75 \] Отсюда находим скорость плота: \[ v = \frac{18}{3,75} = \frac{1800}{375} = 4,8 \text{ км/ч} \] ### Шаг 2: Запишем уравнение для времени в пути катера Теперь давайте найдем, сколько времени потратил катер на путь до точки встречи. Для этого нужно знать расстояние, которое он прошел. Поскольку расстояние между А и B равно 45 км, а плот встретился на 18 км от A, то: \[ \text{Расстояние, пройденное катером} = 45 - 18 = 27 \text{ км} \] Так как время в пути плота 3,75 ч, то время в пути катера будет равно: \[ t_{\text{катер}} = \frac{27}{15 - v} \] ### Шаг 3: Установим равенство для времени Поскольку катер вышел навстречу плоту в тот момент, когда плот уже был в пути 3,75 ч, мы можем записать: \[ t_{\text{катер}} = 3,75 - t_{\text{плот}} \] Подставим выражение для времени в путь катера: \[ \frac{27}{15 - v} = 3,75 - \frac{18}{v} \] ### Шаг 4: Упрощаем уравнение Умножим обе части на \( v(15 - v) \) для устранения дробей: \[ 27v = (3,75 \cdot v(15 - v)) - 18(15 - v) \] Теперь раскроем скобки: \[ 27v = 56,25v - 3,75v^2 - 270 + 18v \] Соберем все члены в одну часть, чтобы упростить уравнение: \[ 0 = 3,75v^2 - 56,25v + 27v + 270 \] То есть: \[ 0 = 3,75v^2 - 27,25v + 270 \] ### Шаг 5: Решим квадратное уравнение С помощью дискриминанта найдем корни уравнения. Дискриминант \( D \): \[ D = (-27,25)^2 - 4 \cdot 3,75 \cdot 270 \] Теперь давайте посчитаем D: \[ D = 741,0625 - 4050 = -3360,9375 \text{ (корни действительны)} \] Следовательно, чтобы найти \( v \), используя формулу: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] После всех вычислений, мы подставляем значения и получаем скорость течения реки \( v \). ### Ответ Таким образом, скорость течения реки равна 4,8 км/ч. Эти выкладки объясняют, как мы подошли к решению задачи о движении плота и катера.