Давайте решим эту задачу, шаг за шагом, чтобы понять, как происходит изменение заряда на обкладках конденсатора в колебательном контуре.
Данные задачи:
- Период колебаний ( T = 20 , \mu s )
- Максимальный заряд на левой обкладке конденсатора ( Q_{max} = 2 , \mu C )
- Время, для которого нужно найти заряд ( t = 30 , \mu s )
Шаг 1: Определим частоту колебаний
Частота колебаний ( f ) и период ( T ) взаимосвязаны следующим образом:
[
f = \frac{1}{T}
]
Подставим значение ( T ):
[
f = \frac{1}{20 \times 10^{-6}} = 50 , kHz
]
Шаг 2: Определим угловую частоту
Угловая частота ( \omega ) связана с частотой ( f ) следующим образом:
[
\omega = 2\pi f
]
Подставим значение ( f ):
[
\omega = 2\pi \times 50 \times 10^{3} \approx 314,16 , rad/s
]
Шаг 3: Опишем зависимость заряда от времени
В колебательном контуре заряд ( Q(t) ) изменяется по синусоидальному закону. Максимальный заряд будет соответствовать значениям косинуса:
[
Q(t) = Q_{max} \cdot \cos(\omega t)
]
Теперь подставим известные значения:
[
Q(t) = 2 \times 10^{-6} \cdot \cos(314,16 \cdot (30 \times 10^{-6}))
]
Шаг 4: Вычислим аргумент косинуса
Вычислим ( \omega t ):
[
\omega t = 314,16 \cdot (30 \times 10^{-6}) \approx 0,0094248 , rad
]
Шаг 5: Найдем значение косинуса
Теперь найдем значение косинуса:
[
\cos(0,0094248) \approx 0,999953
]
Шаг 6: Найдем заряд ( Q(t) )
Теперь можем подставить значение косинуса в формулу:
[
Q(t) = 2 \times 10^{-6} \cdot 0,999953 \approx 1.9999 \times 10^{-6} , C
]
Ответ
Таким образом, заряд на левой обкладке конденсатора через ( t = 30 , \mu s ) будет примерно ( 2 , \mu C ) (с небольшой корректировкой на четные знаки и приближения).
Когда мы анализируем колебания в контуре, мы видим, что заряд колебался вокруг максимального значения, и после 30 мкс он практически вернулся к своему максимальному значению.
