Даны два прямоугольных треугольника ABC, ABD (рис 1). Доказать ABC = ADC. Найти угол ВАD , если ВС = СD, угол АСВ=55°

Чтобы решить данную задачу, давайте сначала разберемся с условиями. 1. У нас есть два прямоугольных треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\). 2. Нам дано, что \(BC = CD\). 3. Дано также, что угол \(\angle ACB = 55^\circ\). Нам нужно доказать, что \(\triangle ABC \cong \triangle ADC\) и найти угол \(\angle BAD\). ### Шаг 1: Доказательство равенства треугольников Для того чтобы два треугольника были равны (конгруэнтны), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись хотя бы один из критериев конгруэнтности треугольников. Основные критерии: - По стороне и двум прилежащим углам \(SAA\). - По двум сторонам и углу между ними \(SAS\). - По трем сторонам \(SSS\). #### Применение критерия \(SAA\) Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\). **Стороны:** - У нас есть \(BC = CD\) (по условию). **Углы:** - Так как оба треугольника содержат угол \(\angle ACB\), то: \[ \angle ACB = \angle ACD = 55^\circ. \] - Теперь нам нужно найти угол \(\angle ABC\) и показать, что \(\angle ADC = \angle ABC\). Поскольку \(\triangle ABC\) прямоугольный треугольник, угол \(\angle ABC\) можно найти как: \[ \angle ABC = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ. \] Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle ACD\). Поскольку \(\triangle ABC \cong \triangle ADC\) по двух углам и стороне, тогда: \[ \angle ADC = \angle ABC = 35^\circ. \] Следовательно, мы имеем: - \(BC = CD\), - \(\angle ACB = \angle ACD = 55^\circ\), - \(\angle ABC = \angle ADC = 35^\circ\). Таким образом, по критерию \(SAA\) можно заключить, что: \[ \triangle ABC \cong \triangle ACD. \] ### Шаг 2: Нахождение угла \(BAD\) Теперь нам нужно найти угол \(\angle BAD\). Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Для треугольника \(\triangle ABD\): \[ \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ. \] В данном случае \(\angle ADB\) также равен \(90^\circ\) (так как это прямоугольный треугольник), и \(\angle ABD\) равен \(35^\circ\) (так как это равное значение угла \(\angle ABC\)). Следовательно: \[ \angle BAD + 35^\circ + 90^\circ = 180^\circ. \] Упрощаем уравнение: \[ \angle BAD + 125^\circ = 180^\circ. \] Теперь вычтем \(125^\circ\) из обеих сторон: \[ \angle BAD = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ. \] ### Итог Таким образом, мы доказали, что \(\triangle ABC \cong \triangle ACD\) и нашли угол: \[ \angle BAD = 55^\circ. \]