Даны два прямоугольных треугольника ABC, ABD (рис 1). Доказать ABC = ADC. Найти угол ВАD , если ВС = СD, угол АСВ=55°

Чтобы решить данную задачу, давайте сначала разберемся с условиями.

1. У нас есть два прямоугольных треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\).
2. Нам дано, что \(BC = CD\).
3. Дано также, что угол \(\angle ACB = 55^\circ\).

Нам нужно доказать, что \(\triangle ABC \cong \triangle ADC\) и найти угол \(\angle BAD\).

Шаг 1: Доказательство равенства треугольников

Для того чтобы два треугольника были равны (конгруэнтны), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись хотя бы один из критериев конгруэнтности треугольников. Основные критерии:

• По стороне и двум прилежащим углам \(SAA\).
• По двум сторонам и углу между ними \(SAS\).
• По трем сторонам \(SSS\).

Применение критерия \(SAA\)

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\).

Стороны:

• У нас есть \(BC = CD\) (по условию).

Углы:

• Так как оба треугольника содержат угол \(\angle ACB\), то: \[ \angle ACB = \angle ACD = 55^\circ. \]

• Теперь нам нужно найти угол \(\angle ABC\) и показать, что \(\angle ADC = \angle ABC\).

Поскольку \(\triangle ABC\) прямоугольный треугольник, угол \(\angle ABC\) можно найти как: \[ \angle ABC = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ. \]

Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle ACD\). Поскольку \(\triangle ABC \cong \triangle ADC\) по двух углам и стороне, тогда: \[ \angle ADC = \angle ABC = 35^\circ. \]

Следовательно, мы имеем:

• \(BC = CD\),
• \(\angle ACB = \angle ACD = 55^\circ\),
• \(\angle ABC = \angle ADC = 35^\circ\).

Таким образом, по критерию \(SAA\) можно заключить, что: \[ \triangle ABC \cong \triangle ACD. \]

Шаг 2: Нахождение угла \(BAD\)

Теперь нам нужно найти угол \(\angle BAD\). Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).

Для треугольника \(\triangle ABD\): \[ \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ. \]

В данном случае \(\angle ADB\) также равен \(90^\circ\) (так как это прямоугольный треугольник), и \(\angle ABD\) равен \(35^\circ\) (так как это равное значение угла \(\angle ABC\)).

Следовательно: \[ \angle BAD + 35^\circ + 90^\circ = 180^\circ. \] Упрощаем уравнение: \[ \angle BAD + 125^\circ = 180^\circ. \] Теперь вычтем \(125^\circ\) из обеих сторон: \[ \angle BAD = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ. \]

Итог

Таким образом, мы доказали, что \(\triangle ABC \cong \triangle ACD\) и нашли угол: \[ \angle BAD = 55^\circ. \]