Реши

Давайте разберёмся с задачами по порядку.

1. Первая задача:

\[ \left( \sqrt{\frac{25}{36}} \right)^{\frac{1}{2}} + \left( \sqrt{\frac{27}{8}} \right)^{\frac{1}{3}} \]

• Сначала упростим \(\sqrt{\frac{25}{36}}\). Это равно \(\frac{5}{6}\).

• Теперь возводим \(\frac{5}{6}\) в степень \( \frac{1}{2} \):
  \[ \left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{6}} \]

• Упростим \(\sqrt{\frac{27}{8}}\). Это равно \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{8}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{6}}{4}\).

• Теперь возводим \(\frac{3\sqrt{6}}{4}\) в степень \( \frac{1}{3} \):
  Найти кубический корень \(\frac{3\sqrt{6}}{4}\) в общем виде сложно, оставим его в этом виде.

Итак, итоговое выражение будет выглядеть как:

\[ \sqrt{\frac{5}{6}} + \sqrt[3]{\frac{27}{8}} \]

2. Вторая задача:

\[ \sqrt[4]{9 \cdot 3^{-2} \cdot 3^{0.5}} \]

• Упростим выражение под корнем:
  \(9 = 3^2\), так что имеем:
  \[ \sqrt[4]{3^2 \cdot 3^{-2} \cdot 3^{0.5}} = \sqrt[4]{3^{0 + 0.5}} = \sqrt[4]{3^{0.5}} = (3^{0.5})^{0.25} = 3^{0.125} \]

3. Третья задача:

\[ \frac{8^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{9}}{8^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{3^{\frac{1}{2}}}} \]

• Упростим числитель:
  \(8^{\frac{2}{3}}\) — это кубический корень из \(8^2\), то есть \((2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\).
  \(\sqrt{9} = 3\).

  Таким образом, числитель равен \(4 \cdot 3 = 12\).

• Упростим знаменатель:
  \(8^{\frac{1}{2}}\) — это квадратный корень из \(8\), то есть \(2\sqrt{2}\).
  \(\sqrt[3]{3^{0.5}}\) упрощается в \((3^{0.5})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{6}}\).

  Таким образом, знаменатель равен \(2\sqrt{2} \cdot 3^{\frac{1}{6}}\).

• Итак, итоговое выражение будет:
  \[ \frac{12}{2\sqrt{2} \cdot 3^{\frac{1}{6}}} = \frac{6}{\sqrt{2} \cdot 3^{\frac{1}{6}}} = \frac{6}{\sqrt{2} \cdot \sqrt[6]{3}} \]

Вот такие решения для каждой из задач!