Давайте решим каждую из задачу по очереди, объясняя все шаги.
Задача 242
Условие: В одном мешке в 5 раз больше крупы, чем в другом. После того как из первого мешка пересыпали во второй 27 кг, крупы в обоих мешках стало поровну. Сколько всего килограммов крупы было в двух мешках?
- Обозначим количество крупы в первом мешке как ( x ) кг, тогда во втором мешке будет ( \frac{x}{5} ) кг.
- После пересыпания 27 кг из первого мешка во второй, количество крупы станет:
- В первом мешке: ( x - 27 ) кг.
- Во втором мешке: ( \frac{x}{5} + 27 ) кг.
- Установим уравнение для равенства количеств крупы в мешках:
[
x - 27 = \frac{x}{5} + 27
]
- Умножим все части уравнения на 5, чтобы избавиться от дробей:
[
5(x - 27) = x + 135
]
Это дает:
[
5x - 135 = x + 135
]
- Переносим ( x ) и постоянные в одну сторону:
[
5x - x = 135 + 135
]
[
4x = 270
]
[
x = 67.5
]
- Найдем количество крупы во втором мешке:
[
\frac{x}{5} = \frac{67.5}{5} = 13.5 \text{ кг}
]
- Теперь найдем общее количество крупы:
[
67.5 + 13.5 = 81 \text{ кг}
]
Таким образом, всего в двух мешках было 81 килограмм крупы.
Задача 243
Условие: На двух одинаковых складах хранился цемент, при этом на первом складе оказалось на 18 т цемента больше, чем на втором. Чтобы заполнить склады, надо было на первый склад завести 34 т цемента, а на второй столько же, сколько там уже было. Какое количество цемента вмещают оба склада?
- Обозначим количество цемента на втором складе как ( y ) т. Тогда на первом складе ( y + 18 ) т.
- Запишем уравнение для заполнения первого склада (с учетом того, что склады одинаковые):
[
(y + 18) + 34 = y + 34
]
- На второй склад нужно завести то же количество, что и есть на складе:
[
y + y = 2y
]
- Полученное уравнение:
[
y + 18 + 34 = y + y
]
или
[
y + 52 = 2y
]
- Переносим ( y ) в одну сторону:
[
52 = 2y - y
]
[
y = 52 \text{ т}
]
- Теперь на первом складе:
[
y + 18 = 52 + 18 = 70 \text{ т}
]
- Общее количество цемента:
[
52 + 70 = 122 \text{ т}
]
Ответ: оба склада вмещают 122 тонны цемента.
Задача 244
Условие: В двух танкерах одинаковое количество нефти. Если из одного танкера перелить в другой 29 т, то нефти в первом танкере останется в 2 раза меньше, чем станет во втором. Сколько всего нефти в обоих танкерах?
- Обозначим количество нефти в одном танкере как ( z ) т. Тогда в обоих танкерах будет ( 2z ) т.
- После перелива 29 т нефти из первого во второй, в первом танкере останется:
[
z - 29 \text{ т}
]
Во втором:
[
z + 29 \text{ т}
]
- Теперь установим уравнение:
[
z - 29 = \frac{1}{2}(z + 29)
]
- Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы убрать дробь:
[
2(z - 29) = z + 29
]
Получаем:
[
2z - 58 = z + 29
]
- Переносим ( z ) и постоянные в одну сторону:
[
2z - z = 29 + 58
]
[
z = 87 \text{ т}
]
- Общее количество нефти в двух танкерах:
[
2z = 2 \times 87 = 174 \text{ т}
]
Ответ: всего в обоих танкерах 174 тонны нефти.
Задача 245
Условие: На первой полке в 8 раз больше книг, чем на второй. Если с первой полки снять 4 книги, а на вторую поставить 10, то книг на полках станет поровну. На сколько больше книг было на первой полке, чем на второй?
- Обозначим количество книг на второй полке как ( a ), тогда на первой полке будет ( 8a ).
- После операции с книгами:
- На первой полке: ( 8a - 4 ).
- На второй полке: ( a + 10 ).
- Записать уравнение:
[
8a - 4 = a + 10
]
- Переносим ( a ) в одну сторону:
[
8a - a = 10 + 4
]
[
7a = 14
]
[
a = 2
]
- Теперь на первой полке:
[
8a = 8 \times 2 = 16
]
- На сколько больше книг на первой полке:
[
16 - 2 = 14
]
Ответ: на первой полке на 14 книг больше, чем на второй.
Задача 246
Условие: Из пунктов А и В, расстояние между которыми 24 км, одновременно навстречу друг другу вышел пешеход и выехал велосипедист. Определите скорости каждого из них, если известно, что они встретились через 2 часа после начала движения и велосипедист двигался со скоростью вдвое большей скорости пешехода.
- Обозначим скорость пешехода как ( v ), тогда скорость велосипедиста равна ( 2v ).
- Общее время в пути составило 2 часа. Расстояние:
[
d = v \cdot t + 2v \cdot t = 24 \text{ км}
]
Подставляем время:
[
2 \cdot v + 2(2v) = 24
]
или
[
2v + 4v = 24
]
Это даёт:
[
6v = 24
]
откуда:
[
v = 4 \text{ км/ч}
]
[
2v = 8 \text{ км/ч}
]
Ответ: скорость пешехода 4 км/ч, велосипедиста 8 км/ч.
Задача 247
Условие: Велосипедист предполагал проехать за 4,5 часов с определенной скоростью некоторое расстояние. Однако из-за грозы произошла задержка с выездом на 45 минут, и, чтобы прибыть в место назначения вовремя, ему пришлось увеличить скорость на 2,4 км/ч. Найдите расстояние, которое должен был преодолеть велосипедист.
- Предположим, скорость велосипедиста ( v ) км/ч.
- Расстояние, которое он должен был проехать:
[
d = v \cdot 4.5
]
- После задержки, время в пути составляет:
[
4.5 - 0.75 = 3.75 \text{ часов}
]
- С новыми данными, расстояние будет:
[
d = (v + 2.4) \cdot 3.75
]
- Теперь равняем уравнения для расстояния:
[
v \cdot 4.5 = (v + 2.4) \cdot 3.75
]
- Раскроем скобки:
[
4.5v = 3.75v + 9
]
- Выразим ( v ):
[
4.5v - 3.75v = 9
]
[
0.75v = 9
]
[
v = 12 \text{ км/ч}
]
- Теперь находим расстояние:
[
d = 4.5 \cdot 12 = 54 \text{ км}
]
Ответ: расстояние, которое должен был преодолеть велосипедист, 54 километра.
Задача 248
Условие: Сергей купил ручку, книгу, тетрадь и набор для черчения. Оказалось, что ручка стоит 6 рублей, а книга в 6 раз дороже тетради. Определите, какова стоимость каждого предмета, если известно, что набор в 4 раза дороже ручки и его стоимость равна стоимости книги.
- Обозначим стоимость тетради как ( x ) рублей. Тогда цена книги:
[
6x
]
- Стоимость ручки:
[
6 \text{ рублей}
]
- Стоимость набора:
[
4 \cdot 6 = 24 \text{ рубля}
]
- Теперь пользуясь условием, что стоимость набора равна стоимости книги:
[
6x = 24
]
- Отсюда:
[
x = 4 \text{ рубля}
]
- Теперь находишь цены:
- Стоимость тетради: ( x = 4 \text{ рубля} )
- Стоимость книги: ( 6 \cdot 4 = 24 \text{ рубля} )
- Стоимость ручки: ( 6 \text{ рублей} )
- Стоимость набора: ( 24 \text{ рубля} )
Ответ:
- Ручка: 6 рублей,
- Тетрадь: 4 рубля,
- Книга: 24 рубля,
- Набор для черчения: 24 рубля.
