Реши

Для решения неравенства \( \sin x < a^2 - a - 1 \) для любого значения \( x \), нужно понять диапазон возможных значений \(\sin x\).

\(\sin x\) может принимать значения от \(-1\) до \(1\) для всех \( x \).

Тогда неравенство \( \sin x < a^2 - a - 1 \) должно выполняться, даже когда \(\sin x = 1\): \[ 1 < a^2 - a - 1 \]

Решим неравенство: \[ a^2 - a - 1 > 1 \] \[ a^2 - a - 2 > 0 \]

Эту квадратную функцию можно разложить на множители: \[ a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1) \]

Теперь рассмотрим неравенство: \[ (a - 2)(a + 1) > 0 \]

Решим его методом интервалов:

1. Найдем нули: \(a - 2 = 0\) и \(a + 1 = 0\). \[ a = 2, \quad a = -1 \]

2. Разделим числовую прямую на интервалы: \( (-\infty, -1), (-1, 2), (2, \infty) \).

3. Определим знак произведения на каждом интервале:

   • В интервале \( (-\infty, -1) \), например, выберем \( a = -2 \): \[ (-2 - 2)(-2 + 1) = (-4)(-1) = 4 > 0 \]
   • В интервале \( (-1, 2) \), выберем \( a = 0 \): \[ (0 - 2)(0 + 1) = (-2)(1) = -2 < 0 \]
   • В интервале \( (2, \infty) \), выберем \( a = 3 \): \[ (3 - 2)(3 + 1) = (1)(4) = 4 > 0 \]

Таким образом, неравенство выполняется при \( a \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).

Итак, правильные значения: \( -2 \) и \( 3 \).