Реши

Чтобы решить уравнение \(25\sin^2 \alpha + 5\sin \alpha - 12 = 0\), используем замену: \(x = \sin \alpha\). Наше квадратное уравнение преобразуется в:

\[ 25x^2 + 5x - 12 = 0. \]

Решим его по формуле квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \(a = 25\), \(b = 5\), \(c = -12\).

Сначала найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-12) = 25 + 1200 = 1225. \]

Теперь найдём корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{50}. \]

Так как \(\sqrt{1225} = 35\), получим:

\[ x_1 = \frac{-5 + 35}{50} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}, \]

\[ x_2 = \frac{-5 - 35}{50} = \frac{-40}{50} = -\frac{4}{5}. \]

Таким образом, \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) или \(\sin \alpha = -\frac{4}{5}\).

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно в условии \(\frac{3\pi}{2} \leq \alpha < 2\pi\).

1. Если \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\):

   • В данной четверти (третья) синус отрицателен, поэтому \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) не подходит.

2. Если \(\sin \alpha = -\frac{4}{5}\):

   • \(\sin \alpha\) может быть равен \(-\frac{4}{5}\) в третьей или четвёртой четверти.
   • В области \(\frac{3\pi}{2} \leq \alpha < 2\pi\) третья четверть (синус отрицателен) и четвёртая четверть соответствует \(\cot \alpha\).

Найдём \(\cot \alpha\) для \(\sin \alpha = -\frac{4}{5}\):

Из тригонометрического тождества \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

\[ \cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}. \]

В третьей четверти косинус отрицательный, то есть \(\cos \alpha = -\frac{3}{5}\).

Теперь найдём \(\cot \alpha\):

\[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}. \]

Ответ: \(\cot \alpha = \frac{3}{4}\).