Решите уравнение 9x² - 6x + 1 = (x + 3)²

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. **Уравнение:** \[ 9x^2 - 6x + 1 = (x + 3)^2 \] **Шаг 1: Раскроем правую часть уравнения.** Сначала раскроем скобки на правой стороне: \[ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \] Теперь у нас есть: \[ 9x^2 - 6x + 1 = x^2 + 6x + 9 \] **Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону.** Вычтем \( x^2 + 6x + 9 \) из обеих сторон уравнения: \[ 9x^2 - 6x + 1 - (x^2 + 6x + 9) = 0 \] Это даст нам: \[ 9x^2 - x^2 - 6x - 6x + 1 - 9 = 0 \] Упростим уравнение: \[ (9x^2 - x^2) + (-6x - 6x) + (1 - 9) = 0 \] Это приводит к: \[ 8x^2 - 12x - 8 = 0 \] **Шаг 3: Упростим уравнение.** Мы можем упростить это уравнение, деля все его члены на 4: \[ 2x^2 - 3x - 2 = 0 \] **Шаг 4: Применяем формулу корней квадратного уравнения.** Теперь решим это уравнение с помощью формулы корней: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \] Здесь \( a = 2 \), \( b = -3 \), \( c = -2 \). Посчитаем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] Теперь находим корни: \[ x = \frac{{-(-3) \pm \sqrt{25}}}{2 \cdot 2} = \frac{{3 \pm 5}}{4} \] **Шаг 5: Находим значения x.** Теперь вычислим два значения для \( x \): 1. \( x_1 = \frac{{3 + 5}}{4} = \frac{8}{4} = 2 \) 2. \( x_2 = \frac{{3 - 5}}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \) **Шаг 6: Записываем ответ.** Таким образом, уравнение \( 9x^2 - 6x + 1 = (x + 3)^2 \) имеет следующие корни: \[ x_1 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{1}{2} \] **Ответ:** \( x = 2 \) и \( x = -\frac{1}{2} \).