решите уравнение 9x² - 6x + 1 = (x + 3)²
Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.
Уравнение:
\[ 9x^2 - 6x + 1 = (x + 3)^2 \]
Шаг 1: Раскроем правую часть уравнения.
Сначала раскроем скобки на правой стороне:
\[ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]
Теперь у нас есть:
\[ 9x^2 - 6x + 1 = x^2 + 6x + 9 \]
Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону.
Вычтем \( x^2 + 6x + 9 \) из обеих сторон уравнения:
\[ 9x^2 - 6x + 1 - (x^2 + 6x + 9) = 0 \]
Это даст нам:
\[ 9x^2 - x^2 - 6x - 6x + 1 - 9 = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ (9x^2 - x^2) + (-6x - 6x) + (1 - 9) = 0 \]
Это приводит к:
\[ 8x^2 - 12x - 8 = 0 \]
Шаг 3: Упростим уравнение.
Мы можем упростить это уравнение, деля все его члены на 4:
\[ 2x^2 - 3x - 2 = 0 \]
Шаг 4: Применяем формулу корней квадратного уравнения.
Теперь решим это уравнение с помощью формулы корней:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
Здесь \( a = 2 \), \( b = -3 \), \( c = -2 \).
Посчитаем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]
Теперь находим корни:
\[ x = \frac{{-(-3) \pm \sqrt{25}}}{2 \cdot 2} = \frac{{3 \pm 5}}{4} \]
Шаг 5: Находим значения x.
Теперь вычислим два значения для \( x \):
- \( x_1 = \frac{{3 + 5}}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)
- \( x_2 = \frac{{3 - 5}}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
Шаг 6: Записываем ответ.
Таким образом, уравнение \( 9x^2 - 6x + 1 = (x + 3)^2 \) имеет следующие корни:
\[ x_1 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{1}{2} \]
Ответ: \( x = 2 \) и \( x = -\frac{1}{2} \).
