пятый и десятый члены геометрической прогрессии равны 0,007 и 54,432 соответственно. найди сумму членов прогрессии, заключённых между ними.S=?
Для решения этой задачи сначала вспомним свойства геометрической прогрессии (ГП). В геометрической прогрессии каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на общее отношение прогрессии (обычно обозначаемое как \( q \)).
Дано:
- Пятый член ( \( a_5 \) ) равен \( 0.007 \)
- Десятый член ( \( a_{10} \) ) равен \( 54.432 \)
Мы можем выразить \( a_5 \) и \( a_{10} \) через первый член геометрической прогрессии (обозначим его как \( a_1 \)):
- \( a_5 = a_1 \cdot q^4 \)
- \( a_{10} = a_1 \cdot q^9 \)
Теперь можем записать систему уравнений:
- \( a_1 \cdot q^4 = 0.007 \) (1)
- \( a_1 \cdot q^9 = 54.432 \) (2)
Теперь разделим (2) на (1): \[ \frac{a_1 \cdot q^9}{a_1 \cdot q^4} = \frac{54.432}{0.007} \] Это упростится до: \[ q^5 = \frac{54.432}{0.007} \]
Теперь вычислим \( \frac{54.432}{0.007} \): \[ \frac{54.432}{0.007} = 7776 \] Таким образом, имеем: \[ q^5 = 7776 \]
Теперь извлечем пятый корень из \( 7776 \): \[ q = 7776^{1/5} \]
Вычислим \( 7776^{1/5} \): \[ 7776 = 6^5 \] Значит, \( q = 6 \).
Теперь подставим значение \( q \) обратно в одно из уравнений (например, (1)) для нахождения \( a_1 \): \[ a_1 \cdot 6^4 = 0.007 \] Сначала вычислим \( 6^4 \): \[ 6^4 = 1296 \] Подставим это значение: \[ a_1 \cdot 1296 = 0.007 \] Теперь найдем \( a_1 \): \[ a_1 = \frac{0.007}{1296} \] Вычисляем: \[ a_1 = 5.4 \times 10^{-6} \]
Теперь, зная \( a_1 \) и \( q \), можем найти сумму членов между пятым и десятым:
Члены прогрессии между пятым и десятым: \( a_6, a_7, a_8, a_9 \).
Формула для суммы \( S_n \) \( n \) членов ГП: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Где \( n \) — количество членов.
В нашем случае:
- \( a_6 = a_1 \cdot q^5 \)
- \( a_7 = a_1 \cdot q^6 \)
- \( a_8 = a_1 \cdot q^7 \)
- \( a_9 = a_1 \cdot q^8 \)
Таким образом, количество членов — 4 (от 6 до 9 включительно): \[ S = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 \] Сложим их: \[ S = a_1 \cdot q^5 + a_1 \cdot q^6 + a_1 \cdot q^7 + a_1 \cdot q^8 \] Факторизуем: \[ S = a_1 \cdot q^5 (1 + q + q^2 + q^3) \]
Сумма геометрической прогрессии с 4 элементами: \[ 1 + q + q^2 + q^3 = \frac{1 - q^4}{1 - q} \] Где \( q = 6 \): \[ 1 + 6 + 36 + 216 = 259 \]
Теперь подставим все выражения: \[ S = a_1 \cdot q^5 \cdot \frac{1 - q^4}{1 - q} \] Так как \( a_1 = 5.4 \times 10^{-6} \) и \( q^5 = 7776 \): \[ S = 5.4 \times 10^{-6} \cdot 7776 \cdot \frac{1 - 1296}{1 - 6} \]
Вычисляем сумму: \[ S = 5.4 \times 10^{-6} \cdot 7776 \cdot \frac{-1295}{-5} \] \[ S = 5.4 \times 10^{-6} \cdot 7776 \cdot 259 \]
Теперь оценим значение \( S \): \[ S \approx 5.4 \times 10^{-6} \cdot 2016644 \approx 10.9 \]
Ответ: Сумма членов прогрессии, заключённых между пятым и десятым членами, равна примерно \( 10.9 \).
