x²-36>0

Чтобы решить неравенство \( x^2 - 36 > 0 \), начнем с преобразования его в более простую форму.

Шаг 1: Преобразуем неравенство

Мы можем представить \( x^2 - 36 \) как разность квадратов. Это будет выглядеть так:

\[ x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6) \]

Таким образом, наше неравенство можно переписать:

\[ (x - 6)(x + 6) > 0 \]

Шаг 2: Определяем нули функции

Теперь найдем нули выражения \( (x - 6)(x + 6) \). Это происходит, когда одно из множителей равно нулю:

1. \( x - 6 = 0 \) => \( x = 6 \)
2. \( x + 6 = 0 \) => \( x = -6 \)

Таким образом, нули выражения: \( x = -6 \) и \( x = 6 \).

Шаг 3: Определяем интервалы

Теперь разобьем числовую ось на интервалы исходя из найденных нулей:

1. \( (-\infty, -6) \)
2. \( (-6, 6) \)
3. \( (6, \infty) \)

Шаг 4: Проверка знака на каждом интервале

Теперь нам нужно проверить знак произведения \( (x - 6)(x + 6) \) на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала \( (-\infty, -6) \):

   • Выберем точку, например, \( x = -7 \): \[ (-7 - 6)(-7 + 6) = (-13)(-1) = 13 > 0 \] Знак положительный.

2. Для интервала \( (-6, 6) \):

   • Выберем точку, например, \( x = 0 \): \[ (0 - 6)(0 + 6) = (-6)(6) = -36 < 0 \] Знак отрицательный.

3. Для интервала \( (6, \infty) \):

   • Выберем точку, например, \( x = 7 \): \[ (7 - 6)(7 + 6) = (1)(13) = 13 > 0 \] Знак положительный.

Шаг 5: Записываем окончательный ответ

Мы ищем, где произведение больше нуля. Это происходит на следующих интервалах:

1. \( (-\infty, -6) \)
2. \( (6, \infty) \)

Таким образом, решением неравенства \( x^2 - 36 > 0 \) являются:

\[ x \in (-\infty, -6) \cup (6, \infty) \]

Заключение

Ответ: \( x < -6 \) или \( x > 6 \).