Решим задачу, используя свойства геометрической прогрессии.
Дано:
- ( a_7 = 99 )
- ( a_{11} = 0,8019 )
Сначала запомним, что в геометрической прогрессии ( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} ), где ( a_1 ) — первый член, ( q ) — знаменатель прогрессии, и ( n ) — номер члена.
1. Выразим ( a_7 ) и ( a_{11} ):
[
a_7 = a_1 \cdot q^{6} = 99
]
[
a_{11} = a_1 \cdot q^{10} = 0,8019
]
2. Разделим уравнения для поиска отношения ( q ):
[
\frac{a_{11}}{a_7} = \frac{a_1 \cdot q^{10}}{a_1 \cdot q^6} = \frac{0,8019}{99}
]
Это упростится до:
[
\frac{q^{10}}{q^6} = q^4
]
Таким образом, имеем:
[
q^4 = \frac{0,8019}{99}
]
3. Найдем ( q^4 ):
Сначала найдем значение ( \frac{0,8019}{99} ):
[
\frac{0,8019}{99} \approx 0,0081
]
Теперь нам нужно извлечь корень четвертой степени:
[
q = \sqrt[4]{0,0081}
]
Сначала извлечем квадратный корень:
[
\sqrt{0,0081} = 0,09
]
Теперь извлечем корень еще раз:
[
\sqrt{0,09} = 0,3
]
Таким образом, ( q \approx 0,3 ).
4. Найдем ( a_1 ):
Теперь подставим ( q ) назад в одно из уравнений. Используем ( a_7 = a_1 \cdot q^{6} = 99 ):
[
99 = a_1 \cdot (0,3)^6
]
Вычислим ( (0,3)^6 ):
[
(0,3)^6 = 0,000729
]
Теперь подставим это значение:
[
99 = a_1 \cdot 0,000729 \implies a_1 = \frac{99}{0,000729} \approx 135000
]
5. Подсчитаем сумму членов прогрессии с 8-го по 10-й:
Сумма ( S ) членов геометрической прогрессии между 7 и 11 членами (то есть с 8 по 10) рассчитывается по формуле:
[
S = a_8 + a_9 + a_{10}
]
Сначала найдем значения ( a_8, a_9 ) и ( a_{10} ):
[
a_8 = a_1 \cdot q^7 = 135000 \cdot (0,3^7) = 135000 \cdot 0,0002187 \approx 29.5275
]
[
a_9 = a_1 \cdot q^8 = 135000 \cdot (0,3^8) = 135000 \cdot 0,00006561 \approx 8.85985
]
[
a_{10} = a_1 \cdot q^9 = 135000 \cdot (0,3^9) = 135000 \cdot 0,00001963 \approx 2.6481
]
Теперь мы можем найти сумму:
[
S = a_8 + a_9 + a_{10} \approx 29.5275 + 8.85985 + 2.6481 \approx 41.03545
]
Таким образом, сумма членов прогрессии, заключённых между седьмым и одиннадцатым членами, составляет примерно ( \approx 41.04 ).
