Реши уравнение 9 x 2 + 24 x + 16 = ( x + 2 ) 2 9x 2 +24x+16=(x+2) 2
Чтобы решить уравнение \( 9x^2 + 24x + 16 = (x + 2)^2 \), давайте сначала разберём, что у нас есть.
Шаг 1: Раскроем правую часть уравнения
У нас есть \( (x + 2)^2 \). Раскроем это выражение по формуле квадрата суммы:
\[ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \]
Таким образом, уравнение становится:
\[ 9x^2 + 24x + 16 = x^2 + 4x + 4 \]
Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону уравнения
Чтобы привести уравнение к стандартному виду (левую часть равенства), нужно перенести все члены из правой части в левую:
\[ 9x^2 + 24x + 16 - (x^2 + 4x + 4) = 0 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Теперь упростим левую часть:
\[ 9x^2 - x^2 + 24x - 4x + 16 - 4 = 0 \]
Это даёт:
\[ 8x^2 + 20x + 12 = 0 \]
Шаг 4: Упрощаем коэффициенты
Теперь можем упростить уравнение, поделив все коэффициенты на 4:
\[ 2x^2 + 5x + 3 = 0 \]
Шаг 5: Используем формулу квадратного уравнения
Чтобы решить квадратное уравнение \( 2x^2 + 5x + 3 = 0 \), мы воспользуемся формулой:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 2 \), \( b = 5 \), \( c = 3 \).
Шаг 6: Находим дискриминант
Сначала найдём значение дискриминанта \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 \]
Шаг 7: Подставляем значения в формулу
Теперь подставим значения в формулу для нахождения корней:
\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 1}{4} \]
Шаг 8: Находим корни
Теперь найдём значения корней:
- \( x_1 = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)
- \( x_2 = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \)
Ответ
Корни уравнения:
\[ x_1 = -1, \quad x_2 = -\frac{3}{2} \]
Таким образом, мы нашли решения уравнения \( 9x^2 + 24x + 16 = (x + 2)^2 \).
