ребро куба равно а. Найдите длину радиуса шара: 1) вписанного в куб; 2) описанного около куба

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Условия задачи

Предположим, что у нас есть куб с ребром длиной \( a \).

1. Длина радиуса вписанного шара

Шар, вписанный в куб, касается всех его граней. Каждый радиус шара равен половине длины ребра куба.

• Радиус вписанного шара (\( r_1 \)):
  \[ r_1 = \frac{a}{2} \]

Это объясняется тем, что при вписывании шара в куб его центр будет совпадать с центром куба, а расстояние от центра до любой грани (т.е., радиус) будет равным половине длины ребра.

2. Длина радиуса описанного шара

Шар, описанный около куба, имеет свой центр в центре куба и касается всех вершин куба. Для нахождения радиуса описанного шара нам нужно найти расстояние от центра куба до одной из его вершин.

• Расстояние от центра куба до вершины:
  • Центр куба находится в точке \((\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})\).
  • Вершина куба находится в точке \((a, a, a)\).

Используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

\[ r_2 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Подставляем координаты центра и одной из вершин:

• \( (x_1, y_1, z_1) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right) \) (центр куба)
• \( (x_2, y_2, z_2) = (a, a, a) \) (вершина куба)

Теперь подставляем в формулу:

\[ r_2 = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(a - \frac{a}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{3 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{2} \]

Ответ

1. Радиус вписанного шара: \( r_1 = \frac{a}{2} \).
2. Радиус описанного шара: \( r_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}a \).

Итак, мы нашли длину радиусов как вписанного, так и описанного шара относительно куба с ребром \( a \).