Найдите величину двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды, если её боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°
Для решения этой задачи необходимо рассмотреть правильную четырёхугольную пирамиду с основанием в виде квадрата. Обозначим её вершину как \( V \), а вершины основания как \( A, B, C, D \).
Пусть длина стороны основания (квадрата) равна \( a \). Высота пирамиды (расстояние от вершины \( V \) до плоскости основания) будет равна \( h \). Из условия задачи нам известно, что боковые ребра \( VA, VB, VC, VD \) наклонены к плоскости основания под углом \( 45^\circ \). Это означает, что угол между линией, соединяющей вершину и точку на плоскости основания (например, \( V \) и \( A \)), и перпендикуляром к плоскости основания равен \( 45^\circ \).
Так как угол наклона боковых рёбер равен \( 45^\circ \), можем записать следующее соотношение для \( h \):
\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2\sqrt{2}}} \]
где \( \frac{a}{2\sqrt{2}} \) - это расстояние от вершины пирамиды до центра основания (середины квадрата), так как вершина \( V \) горизонтально проецируется в центр основания \( O \).
Так получаем, что
\[ h = \frac{a}{2\sqrt{2}} \]
Теперь мы можем найти величину двугранного угла при основании. Мы знаем, что двугранный угол образован двумя боковыми рёбрами, например, \( VA \) и \( VB \).
Для нахождения величины двугранного угла можно использовать косинус угла между векторами. Для этого сначала вычислим координаты вершин:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( V\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{2}}\right) \)
Вектор \( VA \) будет:
\[ VA = A - V = \left( 0 - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2\sqrt{2}} \right) = \left( -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2\sqrt{2}} \right) \]
Вектор \( VB \):
\[ VB = B - V = \left( a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2\sqrt{2}} \right) = \left( \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2\sqrt{2}} \right) \]
Теперь найдем косинус угла между этими векторами. Угол \( \theta \) между ними определяется формулой:
\[ \cos(\theta) = \frac{VA \cdot VB}{|VA| \cdot |VB|} \]
Сначала найдем скалярное произведение:
\[ VA \cdot VB = \left(-\frac{a}{2}\right) \left(\frac{a}{2}\right) + \left(-\frac{a}{2}\right) \left(-\frac{a}{2}\right) + \left(-\frac{a}{2\sqrt{2}}\right) \left(-\frac{a}{2\sqrt{2}}\right) \] \[ = -\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{8} = \frac{a^2}{8} \]
Далее найдем длины векторов \( |VA| \) и \( |VB| \):
\[ |VA| = |VB| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{8}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4} + \frac{a^2}{8}} = \sqrt{\frac{5a^2}{8}} = \frac{a\sqrt{10}}{4} \]
Таким образом, мы можем написать:
\[ \cos(\theta) = \frac{\frac{a^2}{8}}{\left(\frac{a\sqrt{10}}{4}\right)^2} = \frac{\frac{a^2}{8}}{\frac{10a^2}{16}} = \frac{16}{80} = \frac{1}{5} \]
И, соответственно,
\[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{5}\right) \]
Так как нам нужен двугранный угол \( \varphi \), то:
\[ \varphi = 180^\circ - \theta \]
Таким образом, величина двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды равна:
\[ \varphi = \arccos\left(\frac{1}{5}\right). \]
