Радиус одной из двух концентрических окружностей в два раза больше радиуса другой окружности и равен 10 см. Касательная к одной окружности пересекает другую в точках A и B. Найдите длину отрезка AB

Давайте решим задачу шаг за шагом. **Условие:** - Радиус одной окружности равен \( R = 10 \) см. Это больший радиус. - Радиус меньшей окружности в два раза меньше, то есть \( r = \frac{R}{2} = 5 \) см. - Касательная к меньшей окружности пересекает большую в точках \( A \) и \( B \). **Найти длину отрезка \( AB \).** **Решение:** 1. **Построение и анализ:** Рассмотрим концентрические окружности с общим центром \( O \). Расстояние от центра \( O \) до касательной (радиус меньшей окружности) равно \( 5 \) см. 2. **Теорема о секущей и касательной:** Если из внешней точки к окружности провести касательную и секущую, то квадрат длины касательной равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть: \[ OT^2 = OA \cdot OB \] где \( OT = 5 \) см — радиус меньшей (вписанной) окружности. 3. **Выразим стороны секущей:** Так как \( OT \) — это отрезок до касательной линии: \[ OA = OB = 10 \text{ см} \] Поскольку \( AB \) является хордой большего круга, её длина может быть рассчитана через разность радиусов и длину отрезков: \[ \text{Левая часть: } (10)^2 - (5)^2 = 100 - 25 = 75 \] Это формула произойдет из разности квадратов радиусов. 4. **Длина хорды:** Используем формулу длины хорды при известной разности радиусов и касательной: Хорда \( AB \) является пересечением линии касательной. Мы можем использовать теорему Пифагора снова, поскольку: \[ AB = 2 \cdot \sqrt{75} = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \text{ см} \] **Ответ:** Длина отрезка \( AB \) равна \( 10\sqrt{3} \) см.