Для того чтобы найти обратную матрицу, нам сначала нужно убедиться, что у матрицы есть обратная. Обратная матрица существует только для квадратных матриц и только тогда, когда определитель матрицы не равен нулю.
Дана матрица:
[ F = \begin{pmatrix} 3 & -5 \ -1 & 2 \end{pmatrix} ]
Первым шагом найдем определитель матрицы ( F ):
[
\text{det}(F) = 3 \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) = 6 - 5 = 1
]
Определитель равен 1, то есть он не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.
Обратная матрица ( F^{-1} ) для матрицы 2x2 задается следующей формулой:
[
F^{-1} = \frac{1}{\text{det}(F)} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}
]
Где ( a, b, c, d ) — элементы матрицы ( F ), то есть:
[ a = 3, , b = -5, , c = -1, , d = 2 ]
Теперь подставим значения в формулу:
[
F^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 5 \ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \ 1 & 3 \end{pmatrix}
]
Таким образом, обратная матрица ( F^{-1} ) будет:
[ \begin{pmatrix} 2 & 5 \ 1 & 3 \end{pmatrix} ]
Проверим предложенные варианты и видим, что:
[ D = \begin{pmatrix} 2 & 5 \ 1 & 3 \end{pmatrix} ]
Следовательно, обратная матрица — это вариант ( D ).
