Решить

Для того чтобы найти обратную матрицу, нам сначала нужно убедиться, что у матрицы есть обратная. Обратная матрица существует только для квадратных матриц и только тогда, когда определитель матрицы не равен нулю.

Дана матрица:

\[ F = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]

Первым шагом найдем определитель матрицы \( F \):

\[ \text{det}(F) = 3 \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) = 6 - 5 = 1 \]

Определитель равен 1, то есть он не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.

Обратная матрица \( F^{-1} \) для матрицы 2x2 задается следующей формулой:

\[ F^{-1} = \frac{1}{\text{det}(F)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]

Где \( a, b, c, d \) — элементы матрицы \( F \), то есть:

\[ a = 3, \, b = -5, \, c = -1, \, d = 2 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ F^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

Таким образом, обратная матрица \( F^{-1} \) будет:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

Проверим предложенные варианты и видим, что:

\[ D = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

Следовательно, обратная матрица — это вариант \( D \).