р
Для решения задачи определим формулы и переменные, связанные с геометрической прогрессией.
Обозначим:
- \( a_1 \) — первый член прогрессии
- \( q \) — знаменатель прогрессии
Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]
Нам дано:
Пятый член больше третьего на 882, то есть: \[ a_5 = a_3 + 882 \] Подставляем формулы: \[ a_1 \cdot q^4 = a_1 \cdot q^2 + 882 \] \[ a_1 \cdot (q^4 - q^2) = 882 \]
Второй член меньше четвёртого на 210, то есть: \[ a_2 = a_4 - 210 \] \[ a_1 \cdot q = a_1 \cdot q^3 - 210 \] \[ a_1 \cdot (q - q^3) = -210 \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Для простоты решения выразим одно из уравнений через \( q \) и подставим в другое:
- \((q^4 - q^2) = \frac{882}{a_1}\)
- \((q^3 - q) = \frac{210}{a_1}\)
Разделим второе уравнение на \( q \): \[ q^2 - 1 = \frac{210}{a_1 \cdot q} \] Теперь поставим выражения из 1 в 2: \[ (q^4 - q^2) = \frac{882}{a_1} = \text{выразим через }\frac{210}{a_1 \cdot q} \]
Таким образом, можем выразить \( q \) и \( a_1 \), и найти первые пять членов прогрессии, а затем их сумму.
После нахождения значений \( a_1 \) и \( q \), выразим сумму первых пяти членов: \[ S_5 = a_1 (1 + q + q^2 + q^3 + q^4) \]
Подставьте найденные значения и получите итоговый результат.
Используйте уравнения выше для решения и получения итогового ответа.
