1.Упростите выражение y(у-5)(у+5)-(у+2)(y²-2y+4). 2.Разложите на множители ay⁷+y⁷-ay³-y³ 4-m²+14mn-49n² 3.Реши уравнение 2x²-32x=0 81x³+18x²+x=0 x³+6x²-x-6=0 4.Докажи что 2⁹+10³…

Давайте разберем каждую из задач по порядку, чтобы вы могли их понять.

Задача 1: Упростите выражение

\[ y(y - 5)(y + 5) - (y + 2)(y^2 - 2y + 4) \]

Шаг 1: Упростим первое выражение.
\[ y(y - 5)(y + 5) \]
Это можно разбить, используя формулу разности квадратов:
\[ (y - 5)(y + 5) = y^2 - 25 \]
Таким образом:
\[ y(y^2 - 25) = y^3 - 25y \]

Шаг 2: Упростим второе выражение.
Раскроем скобки в \((y + 2)(y^2 - 2y + 4)\):
\[ y(y^2 - 2y + 4) + 2(y^2 - 2y + 4) \]
\[ = y^3 - 2y^2 + 4y + 2y^2 - 4y + 8 \]
\[ = y^3 + 8 \]

Шаг 3: Сложим оба выражения.
Теперь у нас два упрощенных выражения:

1. \( y^3 - 25y \)
2. \( -(y^3 + 8) \)

Теперь вычтем:
\[ (y^3 - 25y) - (y^3 + 8) \]
\[ = y^3 - 25y - y^3 - 8 = -25y - 8 \]

Ответ:
\[ -25y - 8 \]

Задача 2: Разложите на множители

1. ay⁷ + y⁷ - ay³ - y³
   Объединим подобные слагаемые:
   \[ (a + 1)y^7 - (a + 1)y^3 \]
   Вынесем общий множитель:
   \[ (a + 1)(y^7 - y^3) \]
   Теперь раскроем \( y^7 - y^3 \) через разность квадратов:
   \[ y^3(y^4 - 1) = y^3(y^2 - 1)(y^2 + 1) = y^3(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1) \]
   Ответ:
   \[ (a + 1)y^3(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1) \]

2. 4 - m² + 14mn - 49n²
   Проверим, можно ли это представить в виде полного квадрата:
   \[ 4 - (m² - 14mn + 49n²) \]
   \[ 4 - (m - 7n)² \]
   Это представляется как разность квадратов:
   \[ (2 - (m - 7n))(2 + (m - 7n)) \]
   Ответ:
   \[ (2 - m + 7n)(2 + m - 7n) \]

Задача 3: Реши уравнение

1. 2x² - 32x = 0
   Вынесем общий множитель:
   \[ 2x(x - 16) = 0 \]
   Следовательно, \( x = 0 \) или \( x = 16 \).

2. 81x³ + 18x² + x = 0
   Вынесем общий множитель:
   \[ x(81x² + 18x + 1) = 0 \]
   Первая корень: \( x = 0 \).
   Для второго множителя найдем корни с помощью формулы дискриминанта:
   \[ D = 18² - 4 \cdot 81 \cdot 1 = 324 - 324 = 0 \]
   Так как \( D = 0 \), у нас один двойной корень:
   \[ x = \frac{-18}{2 \cdot 81} = \frac{-1}{9} \].
   Ответ:
   \( x = 0 \) и \( x = -\frac{1}{9} \)

3. x³ + 6x² - x - 6 = 0
   Проверим на наличие целых корней, используя теорему о делении. Подберем \( x = 1 \):
   \[ 1^3 + 6(1)^2 - 1 - 6 = 0 \], значит \( x = 1 \) корень.
   Разделим многочлен на \( (x - 1) \) с помощью деления многочленов:
   Получим \( x² + 7x + 6\), что можно разложить на множители:
   \[ (x + 1)(x + 6) = 0 \].
   Ответ:
   \( x = 1, -1, -6 \)

Задача 4: Докажи, что \( 2⁹ + 10³ \) делится на 18 нацело

Шаг 1: Найдем \( 2⁹ + 10³ \)
\[ 2⁹ = 512,\quad 10³ = 1000\]
\[ 512 + 1000 = 1512 \]

Шаг 2: Проверим делимость на 18.
1512 делится на 2: четное число.
Делимость на 9: \( 1 + 5 + 1 + 2 = 9\) (делится на 9).
Следовательно, на \( 18 = 2 \cdot 9 \) делится.
Ответ:
Да, \( 2⁹ + 10³ \) делится на 18.

Задача 5: Известно, что \( a-b=10\), \( ab=7 \). Найди \((a+b)²\)

Шаг 1: Найдем \( a + b \) через известные значения.
Используем формулы:
\( (a-b)² = (a+b)² - 4ab \)
Подставим известные значения:
\[ 10² = (a+b)² - 4 \cdot 7 \]
\[ 100 = (a+b)² - 28 \]
\[ (a+b)² = 100 + 28 = 128 \]
Ответ:
\( (a+b)² = 128 \)

Если есть дополнительные вопросы или задачи, спросите!