В прямоугольном треугольнике MBC (∠C =90°) провели высоту CK. Чему равен отрезок MK, если МВ = 20 см, ВС = 10 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и теоремами о высоте, проведенной из прямого угла.

Дано:

• Прямоугольный треугольник MBC, где ∠C = 90°.
• \(MB = 20\) см (гипотенуза).
• \(BC = 10\) см (катет).

Необходимо найти:

• Длину отрезка \(MK\), где \(CK\) — высота, опущенная из точки \(C\) на гипотенузу \(MB\).

Решение:

1. Находите длину второго катета \(MC\). Используем теорему Пифагора: \[ MB^2 = MC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ 20^2 = MC^2 + 10^2 \] \[ 400 = MC^2 + 100 \] Выразим \(MC^2\): \[ MC^2 = 400 - 100 = 300 \] Теперь найдем \(MC\): \[ MC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \text{ см} \]

2. Находим площадь треугольника MBC. Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MC \] Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10\sqrt{3} = 50\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

3. Находим высоту CK. Площадь треугольника также можно выразить через гипотенузу и высоту: \[ S = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot CK \] Подставляем известные значения: \[ 50\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot CK \] Упрощаем уравнение: \[ 50\sqrt{3} = 10 \cdot CK \] Найдем \(CK\): \[ CK = \frac{50\sqrt{3}}{10} = 5\sqrt{3} \text{ см} \]

4. Находим отрезок MK. Теперь используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: \[ MK \cdot KB = CK^2 \] Кроме того, знаем, что \(MK + KB = MB\). Обозначим \(MK = x\), тогда \(KB = 20 - x\). Подставляем в уравнение: \[ x(20 - x) = (5\sqrt{3})^2 \] \[ x(20 - x) = 75 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ x^2 - 20x + 75 = 0 \] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 75 = 400 - 300 = 100 \] Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{20 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{20 \pm 10}{2} \] Это дает два значения: \[ x_1 = \frac{30}{2} = 15, \quad x_2 = \frac{10}{2} = 5 \] Таким образом, \(MK\) может быть равен 15 см или 5 см. Это значит, что отрезок \(MK\) равен 15 см, если отрезок \(KB\) равен 5 см, и наоборот.

Ответ:

Отрезок \(MK\) равен 15 см (если отрезок \(KB\) равен 5 см) или 5 см (если отрезок \(KB\) равен 15 см).