реши 10 задачу
Чтобы решить задачу 10, нам необходимо проанализировать условия и провести расчёты.
Задача 10:
Даны два пристанища A и B, расстояние между которыми равно 16 км. Между этими пристанищами курсирует катер. Известно, что течение реки составляет 3 км/ч. Катер проходит дистанцию от A до B по течению, а обратно против течения.
Определим какие данные у нас есть:
- Скорость течения реки: \( v_{\text{р}} = 3 \) км/ч.
- Расстояние между пристанищами A и B: \( s = 16 \) км.
Пусть \( v \) — собственная скорость катера.
Скорость катера:
- По течению: \( v + v_{\text{р}} = v + 3 \).
- Против течения: \( v - v_{\text{р}} = v - 3 \).
Время, необходимое для прохождения дистанции:
- По течению: \( t_{\text{по течению}} = \frac{s}{v + 3} = \frac{16}{v + 3} \).
- Против течения: \( t_{\text{против течения}} = \frac{s}{v - 3} = \frac{16}{v - 3} \).
Общее время в пути составило 4 часа.
Запишем уравнение: \[ \frac{16}{v + 3} + \frac{16}{v - 3} = 4 \]
Решим это уравнение:
Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{16(v - 3) + 16(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 4 \]
Упростим числитель: \[ 16v - 48 + 16v + 48 = 32v \]
Получим уравнение: \[ \frac{32v}{v^2 - 9} = 4 \]
Умножим обе части на \( v^2 - 9 \): \[ 32v = 4(v^2 - 9) \]
Упростим: \[ 32v = 4v^2 - 36 \]
Перенесём все слагаемые в одну часть и упростим: \[ 4v^2 - 32v - 36 = 0 \]
Разделим всё уравнение на 4: \[ v^2 - 8v - 9 = 0 \]
Найдём корни квадратного уравнения. Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 1 \times (-9) = 64 + 36 = 100 \]
Найдём корни: \[ v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 10}{2} \]
Получим: \[ v_1 = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v = 9 \) км/ч.
Ответ: Собственная скорость катера 9 км/ч.
