В окружность вписан равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности равен 10. Чему равна высота равностороннего треугольника?

Чтобы найти высоту равностороннего треугольника, вписанного в окружность с радиусом \( R \), можно воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Определение треугольника

Равносторонний треугольник имеет все стороны равными, и все углы равны 60°. Радиус описанной окружности \( R \) связан со стороной треугольника \( a \) по формуле:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Шаг 2: Найдем сторону треугольника

Мы знаем, что радиус окружности \( R = 10 \). Подставим это значение в формулу:

\[ 10 = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Чтобы выразить сторону \( a \), умножим обе стороны на \( \sqrt{3} \):

\[ a = 10\sqrt{3} \]

Шаг 3: Вычисление высоты треугольника

Высота \( h \) равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]

Теперь подставим значение \( a = 10\sqrt{3} \) в эту формулу:

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10\sqrt{3} \]

Шаг 4: Упростить выражение

Упростим:

\[ h = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

Ответ

Таким образом, высота равностороннего треугольника, вписанного в окружность с радиусом 10, равна \( 15 \).