Первая труба наполняет бассейн водой на 18 18 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая вместе, наполняют этот же бассейн за 12 12 минут. За сколько минут наполнит этот бассейн…

Чтобы решить задачу, давайте обозначим время, за которое вторая труба наполняет бассейн, как \( x \) минут. Тогда первая труба, как сказано в задаче, будет наполнять бассейн за \( x + 18 \) минут.

1. Определим скорость наполнения для каждой трубы.
   Скорость наполнения бассейна — это величина, показывающая, какую часть бассейна каждая труба наполняет за единицу времени (например, за 1 минуту).

   • Скорость второй трубы: \( \frac{1}{x} \) бассейна в минуту.
   • Скорость первой трубы: \( \frac{1}{x + 18} \) бассейна в минуту.

2. Суммарная скорость при работе двух труб.
   Когда обе трубы работают вместе, их скорости суммируются: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 18} \] Эта суммарная скорость равна \( \frac{1}{12} \) бассейна в минуту, так как обе трубы заполняют бассейн за 12 минут.

   Составим уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 18} = \frac{1}{12} \]

3. Упрощение уравнения.
   Объединим дроби с левой стороны: \[ \frac{(x + 18) + x}{x(x + 18)} = \frac{1}{12} \] Это можно записать как: \[ \frac{2x + 18}{x(x + 18)} = \frac{1}{12} \]

4. Перекрестное умножение.
   Умножим обе стороны на \( 12x(x + 18) \): \[ 12(2x + 18) = x(x + 18) \]

5. Решение полученного уравнения.
   Раскроем скобки: \[ 24x + 216 = x^2 + 18x \] Переносим все члены в одну сторону для получения квадратного уравнения: \[ x^2 - 6x - 216 = 0 \]

6. Решение квадратного уравнения.
   Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900 \] Находим корни квадратного уравнения по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{6 \pm 30}{2} \] Это дает два значения: \[ x = \frac{36}{2} = 18 \quad \text{и} \quad x = \frac{-24}{2} = -12 \] Поскольку время не может быть отрицательным, принимаем \( x = 18 \).

Таким образом, вторая труба наполняет бассейн за 18 минут.