Решите

Для решения задачи нам нужно найти дисперсию выигрыша в лотерее. Дисперсия — это мера того, насколько случайная величина отклоняется от своего матожидания. ### Шаг 1: Найдите математическое ожидание (среднее значение) Математическое ожидание \( E(X) \) рассчитывается как сумма произведений возможных выигрышей на их вероятности: \[ E(X) = 100 \cdot 0{,}5 + 200 \cdot 0{,}3 + 500 \cdot 0{,}15 + 1000 \cdot 0{,}05 \] Рассчитаем: \[ E(X) = 100 \cdot 0{,}5 + 200 \cdot 0{,}3 + 500 \cdot 0{,}15 + 1000 \cdot 0{,}05 = 50 + 60 + 75 + 50 = 235 \] ### Шаг 2: Найдите дисперсию Дисперсия \( D(X) \) рассчитывается как сумма произведений квадратов отклонений возможных выигрышей от математического ожидания на их вероятности: \[ D(X) = (100 - 235)^2 \cdot 0{,}5 + (200 - 235)^2 \cdot 0{,}3 + (500 - 235)^2 \cdot 0{,}15 + (1000 - 235)^2 \cdot 0{,}05 \] Посчитаем значение каждого слагаемого отдельно: 1. \( (100 - 235)^2 = (-135)^2 = 18225 \) 2. \( (200 - 235)^2 = (-35)^2 = 1225 \) 3. \( (500 - 235)^2 = 265^2 = 70225 \) 4. \( (1000 - 235)^2 = 765^2 = 585225 \) Теперь подставим в формулу для дисперсии: \[ D(X) = 18225 \cdot 0{,}5 + 1225 \cdot 0{,}3 + 70225 \cdot 0{,}15 + 585225 \cdot 0{,}05 \] Рассчитаем: 1. \( 18225 \cdot 0{,}5 = 9112{,}5 \) 2. \( 1225 \cdot 0{,}3 = 367{,}5 \) 3. \( 70225 \cdot 0{,}15 = 10533{,}75 \) 4. \( 585225 \cdot 0{,}05 = 29261{,}25 \) Сложим все значения: \[ D(X) = 9112{,}5 + 367{,}5 + 10533{,}75 + 29261{,}25 = 49275 \] Таким образом, дисперсия выигрыша в этой лотерее составляет 49,275.