решите

Для решения задачи нам нужно найти дисперсию выигрыша в лотерее. Дисперсия — это мера того, насколько случайная величина отклоняется от своего матожидания.

Шаг 1: Найдите математическое ожидание (среднее значение)

Математическое ожидание \( E(X) \) рассчитывается как сумма произведений возможных выигрышей на их вероятности:

\[ E(X) = 100 \cdot 0{,}5 + 200 \cdot 0{,}3 + 500 \cdot 0{,}15 + 1000 \cdot 0{,}05 \]

Рассчитаем:

\[ E(X) = 100 \cdot 0{,}5 + 200 \cdot 0{,}3 + 500 \cdot 0{,}15 + 1000 \cdot 0{,}05 = 50 + 60 + 75 + 50 = 235 \]

Шаг 2: Найдите дисперсию

Дисперсия \( D(X) \) рассчитывается как сумма произведений квадратов отклонений возможных выигрышей от математического ожидания на их вероятности:

\[ D(X) = (100 - 235)^2 \cdot 0{,}5 + (200 - 235)^2 \cdot 0{,}3 + (500 - 235)^2 \cdot 0{,}15 + (1000 - 235)^2 \cdot 0{,}05 \]

Посчитаем значение каждого слагаемого отдельно:

1. \( (100 - 235)^2 = (-135)^2 = 18225 \)
2. \( (200 - 235)^2 = (-35)^2 = 1225 \)
3. \( (500 - 235)^2 = 265^2 = 70225 \)
4. \( (1000 - 235)^2 = 765^2 = 585225 \)

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

\[ D(X) = 18225 \cdot 0{,}5 + 1225 \cdot 0{,}3 + 70225 \cdot 0{,}15 + 585225 \cdot 0{,}05 \]

Рассчитаем:

1. \( 18225 \cdot 0{,}5 = 9112{,}5 \)
2. \( 1225 \cdot 0{,}3 = 367{,}5 \)
3. \( 70225 \cdot 0{,}15 = 10533{,}75 \)
4. \( 585225 \cdot 0{,}05 = 29261{,}25 \)

Сложим все значения:

\[ D(X) = 9112{,}5 + 367{,}5 + 10533{,}75 + 29261{,}25 = 49275 \]

Таким образом, дисперсия выигрыша в этой лотерее составляет 49,275.